Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 13, \pm 26$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(1)}^{4} + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 12 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 12 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Paso 4.1.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$1 + 12 - 15 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 26$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 12 - 15 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 26$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 15$ por $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 \cdot 1 + 26$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$1 + 12 - 15 - 24 + 26$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $1$ y $12$ .

$13 - 15 - 24 + 26$

Paso 4.2.2

Resta $15$ de $13$ .

$- 2 - 24 + 26$

Paso 4.2.3

Resta $24$ de $- 2$ .

$- 26 + 26$

Paso 4.2.4

Suma $- 26$ y $26$ .

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} + 12 x^{3} - 15 x^{2} - 24 x + 26}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(12)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$
	$1$	$13$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(13)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(13)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 15)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$
	$1$	$13$	$- 2$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 2)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 24)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 26)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 26)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(26)$ .

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$12$	$- 15$	$- 24$	$26$
		$1$	$13$	$- 2$	$- 26$
	$1$	$13$	$- 2$	$- 26$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 13 x^{2} + (- 2) x - 26$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + 13 x^{2} - 2 x - 26$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 1) (x^{3} + 13 x^{2}) - 2 x - 26$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

$(x - 1) x^{2} (x + 13) - 2 (x + 13)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 13$ .

$(x - 1) (x + 13) (x^{2} - 2)$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Reagrupa los términos.

$12 x^{3} - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Paso 9.2

Factoriza $12 x$ de $12 x^{3} - 24 x$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 24 x + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Paso 9.2.2

Factoriza $12 x$ de $- 24 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Paso 9.2.3

Factoriza $12 x$ de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x^{2} - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Paso 9.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 26 = 0$

Paso 9.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + u^{2} - 15 u + 26 = 0$

Paso 9.5

Factoriza $u^{2} - 15 u + 26$ con el método AC.

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Paso 9.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $26$ y cuya suma es $- 15$ .

$- 13, - 2$

Paso 9.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$12 x (x^{2} - 2) + (u - 13) (u - 2) = 0$

Paso 9.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 9.7

Factoriza $x^{2} - 2$ de $12 x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

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Paso 9.7.1

Factoriza $x^{2} - 2$ de $12 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 13) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 9.7.2

Factoriza $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 13) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13) = 0$

Paso 9.7.3

Factoriza $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 2) (12 x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 2) (12 x + x^{2} - 13) = 0$

Paso 9.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} - 2) (12 u + u^{2} - 13) = 0$

Paso 9.9

Factoriza $12 u + u^{2} - 13$ con el método AC.

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Paso 9.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 13$ y cuya suma es $12$ .

$- 1, 13$

Paso 9.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{2} - 2) ((u - 1) (u + 13)) = 0$

Paso 9.10

Factoriza.

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Paso 9.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x + 13)) = 0$

Paso 9.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 13 = 0$

Paso 11

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 11.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 11.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 11.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 12

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 12.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 13

Establece $x + 13$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 13$ igual a $0$ .

$x + 13 = 0$

Paso 13.2

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 13$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 2) (x - 1) (x + 13) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, - 13$

Forma decimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, - 13$

Paso 16