Álgebra Ejemplos

$3 x^{2} + 7 y^{2} = 21$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Divide cada término por $21$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{3 x^{2}}{21} + \frac{7 y^{2}}{21} = \frac{21}{21}$

Paso 1.2

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = \sqrt{7}$

$b = \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Paso 4

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 4.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(\sqrt{7})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 4.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{7^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{7^{1} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.3.1.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{7 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

Paso 4.3.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{7 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{7 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{7 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{7 - 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 4.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{7 - 3^{1}}$

Paso 4.3.2.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{7 - 1 \cdot 3}$

Paso 4.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\sqrt{7 - 3}$

Paso 4.3.3.2

Resta $3$ de $7$ .

$\sqrt{4}$

Paso 4.3.3.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Paso 4.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2$

Paso 5

Obtén los focos.

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Paso 5.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 + 2, 0)$

Paso 5.3

Simplifica.

$(2, 0)$

Paso 5.4

El segundo foco de una elipse puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 5.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(0 - (2), 0)$

Paso 5.6

Simplifica.

$(- 2, 0)$

Paso 5.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(2, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, 0)$

Paso 6