Álgebra Ejemplos

$x^{2} - 6 x + 5 y = - 34$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 x + 5 y = - 34 - x^{2}$

Paso 1.1.1.2

Suma $6 x$ a ambos lados de la ecuación.

$5 y = - 34 - x^{2} + 6 x$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $5 y = - 34 - x^{2} + 6 x$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $5 y = - 34 - x^{2} + 6 x$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{34}{5} + \frac{- x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{34}{5} - \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{34}{5} - \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5}$ .

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Paso 1.2.1

Mueve $- \frac{34}{5}$ .

$- \frac{x^{2}}{5} + \frac{6 x}{5} - \frac{34}{5}$

Paso 1.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$b = \frac{6}{5}$

$c = - \frac{34}{5}$

Paso 1.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{6}{5}}{2 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 (3)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 3}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{5}}$

Paso 1.2.4.2.3

Multiplica $\frac{3}{5}$ por $\frac{1}{- \frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{3}{5 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$d = \frac{3}{- 5 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.4.2.5

Combina $- 5$ y $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 5}{5}}$

Paso 1.2.4.2.6

Cancela el factor común de $- 5$ y $5$ .

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Paso 1.2.4.2.6.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$d = \frac{3}{\frac{5 \cdot - 1}{5}}$

Paso 1.2.4.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.4.2.6.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$d = \frac{3}{\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}}$

Paso 1.2.4.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}}$

Paso 1.2.4.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{\frac{- 1}{1}}$

Paso 1.2.4.2.6.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

Paso 1.2.4.2.7

Mueve el negativo del denominador de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Paso 1.2.4.2.8

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = - 3$

Paso 1.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{{(\frac{6}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{6}{5}$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{6^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2.1.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.5.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Paso 1.2.5.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{5}$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{\frac{- 4}{5}}$

Paso 1.2.5.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{34}{5} - \frac{\frac{36}{25}}{- \frac{4}{5}}$

Paso 1.2.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{36}{25} (- \frac{5}{4}))$

Paso 1.2.5.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.5.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{4}$ al numerador.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{36}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Paso 1.2.5.2.1.5.2

Factoriza $4$ de $36$ .

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{4 (9)}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Paso 1.2.5.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{4 \cdot 9}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Paso 1.2.5.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{25} \cdot - 5)$

Paso 1.2.5.2.1.6

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.5.2.1.6.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5 (5)} \cdot - 5)$

Paso 1.2.5.2.1.6.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Paso 1.2.5.2.1.6.3

Cancela el factor común.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Paso 1.2.5.2.1.6.4

Reescribe la expresión.

$e = - \frac{34}{5} - (\frac{9}{5} \cdot - 1)$

Paso 1.2.5.2.1.7

Combina $\frac{9}{5}$ y $- 1$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{9 \cdot - 1}{5}$

Paso 1.2.5.2.1.8

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$e = - \frac{34}{5} - \frac{- 9}{5}$

Paso 1.2.5.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{34}{5} - - \frac{9}{5}$

Paso 1.2.5.2.1.10

Multiplica $- - \frac{9}{5}$ .

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Paso 1.2.5.2.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - \frac{34}{5} + 1 (\frac{9}{5})$

Paso 1.2.5.2.1.10.2

Multiplica $\frac{9}{5}$ por $1$ .

$e = - \frac{34}{5} + \frac{9}{5}$

Paso 1.2.5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 34 + 9}{5}$

Paso 1.2.5.2.3

Suma $- 34$ y $9$ .

$e = \frac{- 25}{5}$

Paso 1.2.5.2.4

Divide $- 25$ por $5$ .

$e = - 5$

Paso 1.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{5} {(x - 3)}^{2} - 5$ .

$- \frac{1}{5} {(x - 3)}^{2} - 5$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{5} \cdot {(x - 3)}^{2} - 5$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{5}$

$h = 3$

$k = - 5$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(3, - 5)$

Paso 4

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 4.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{5})}$

Paso 4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{5})}$

Paso 4.3.2

Combina $4$ y $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{5}}$

Paso 4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- (1 (\frac{5}{4}))$

Paso 4.3.4

Multiplica $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$- \frac{5}{4}$

Paso 5

Obtén el foco.

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Paso 5.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(3, - \frac{25}{4})$

Paso 6