Álgebra Ejemplos

$(- 2, 6)$ , $(5, 1)$

Paso 1

El diámetro de un círculo es cualquier segmento de recta que pase por el centro del círculo y cuyos extremos estén en la circunferencia del círculo. Los extremos dados del diámetro son $(- 2, 6)$ y $(5, 1)$ . El punto central del círculo es el centro del diámetro, que es el punto medio entre $(- 2, 6)$ y $(5, 1)$ . En este caso, el punto medio es $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ .

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Paso 1.1

Usa la fórmula del punto medio para obtener el punto medio del segmento.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Paso 1.2

Sustituye los valores de $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{- 2 + 5}{2}, \frac{6 + 1}{2})$

Paso 1.3

Suma $- 2$ y $5$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{6 + 1}{2})$

Paso 1.4

Suma $6$ y $1$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$

Paso 2

Obtén el radio $r$ en el círculo. El radio es cualquier segmento desde el centro del círculo hasta cualquier punto en su circunferencia. En este caso, $r$ es la distancia entre $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ y $(- 2, 6)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$r = \sqrt{{((- 2) - \frac{3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{{(\frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{{(\frac{- 2 \cdot 2 - 3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$r = \sqrt{{(\frac{- 4 - 3}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.4.2

Resta $3$ de $- 4$ .

$r = \sqrt{{(\frac{- 7}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = \sqrt{{(- \frac{7}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.3.6.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{7}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.6.2

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.8

Multiplica $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$r = \sqrt{\frac{7^{2}}{2^{2}} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.9

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{2^{2}} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(6 - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.11

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.12

Combina $6$ y $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{6 \cdot 2 - 7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.14.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{12 - 7}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.14.2

Resta $7$ de $12$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.15

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.15.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Paso 2.3.15.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{25}{2^{2}}}$

Paso 2.3.15.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{25}{4}}$

Paso 2.3.15.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{49 + 25}{4}}$

Paso 2.3.15.5

Suma $49$ y $25$ .

$r = \sqrt{\frac{74}{4}}$

Paso 2.3.16

Cancela el factor común de $74$ y $4$ .

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Paso 2.3.16.1

Factoriza $2$ de $74$ .

$r = \sqrt{\frac{2 (37)}{4}}$

Paso 2.3.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.16.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.16.2.2

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{2 \cdot 37}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.16.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{37}{2}}$

Paso 2.3.17

Reescribe $\sqrt{\frac{37}{2}}$ como $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.18

Multiplica $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 2.3.19

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.3.19.1

Multiplica $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.19.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.19.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 2.3.19.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 2.3.19.5

Suma $1$ y $1$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3.19.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.3.19.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.3.19.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.3.19.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.19.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.19.6.4.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.3.19.6.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.19.6.5

Evalúa el exponente.

$r = \frac{\sqrt{37} \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.3.20

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.20.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$r = \frac{\sqrt{37 \cdot 2}}{2}$

Paso 2.3.20.2

Multiplica $37$ por $2$ .

$r = \frac{\sqrt{74}}{2}$

Paso 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ es la forma de la ecuación para un círculo con $r$ radio y $(h, k)$ como punto central. En este caso, $r = \frac{\sqrt{74}}{2}$ y el punto central es $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ . La ecuación del círculo es ${(x - (\frac{3}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{7}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{74}}{2})}^{2}$ .

${(x - (\frac{3}{2}))}^{2} + {(y - (\frac{7}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{74}}{2})}^{2}$

Paso 4

La ecuación de un círculo es ${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{37}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y - \frac{7}{2})}^{2} = \frac{37}{2}$

Paso 5