Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 48 x^{2} - 49$

Paso 1

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 7, \pm 49$

$q = \pm 1$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 7, \pm 49$

Paso 2

Aplica la regla de división sintética en $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 7}$ cuando $x = 7$ .

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Paso 2.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Paso 2.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Paso 2.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(7)$ y coloca el resultado de $(7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$

Paso 2.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$
	$1$	$7$

Paso 2.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(7)$ por el divisor $(7)$ y coloca el resultado de $(49)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 48)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$

Paso 2.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$

Paso 2.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(7)$ y coloca el resultado de $(7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$

Paso 2.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$
	$1$	$7$	$1$	$7$

Paso 2.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(7)$ por el divisor $(7)$ y coloca el resultado de $(49)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 49)$ .

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$

Paso 2.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$7$	$49$	$7$	$49$
	$1$	$7$	$1$	$7$	$0$

Paso 2.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (1) x + 7$

Paso 2.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + 7 x^{2} + x + 7$

Paso 3

Como $7 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $7$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $7$

Paso 4

Aplica la regla de división sintética en $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 7}$ cuando $x = - 7$ .

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Paso 4.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Paso 4.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Paso 4.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(- 7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$

Paso 4.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$
	$1$	$- 7$

Paso 4.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 7)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(49)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 48)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$

Paso 4.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$

Paso 4.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(- 7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$

Paso 4.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

Paso 4.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 7)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(49)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 49)$ .

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$

Paso 4.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 7$	$49$	$- 7$	$49$
	$1$	$- 7$	$1$	$- 7$	$0$

Paso 4.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + - 7 x^{2} + (1) x - 7$

Paso 4.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} - 7 x^{2} + x - 7$

Paso 5

Como $- 7 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 7$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 7$

Paso 6

Aplica la regla de división sintética en $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x - 49}$ cuando $x = 49$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(49)$ y coloca el resultado de $(49)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$
	$1$	$49$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(49)$ por el divisor $(49)$ y coloca el resultado de $(2401)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 48)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$
	$1$	$49$	$2353$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2353)$ por el divisor $(49)$ y coloca el resultado de $(115297)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(115297)$ por el divisor $(49)$ y coloca el resultado de $(5649553)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 49)$ .

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$49$	$2401$	$115297$	$5649553$
	$1$	$49$	$2353$	$115297$	$5649504$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 49 x^{2} + (2353) x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + 49 x^{2} + 2353 x + 115297 + \frac{5649504}{x - 49}$

Paso 7

Como $49 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $49$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $49$

Paso 8

Aplica la regla de división sintética en $\frac{x^{4} - 48 x^{2} - 49}{x + 49}$ cuando $x = - 49$ .

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Paso 8.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

Paso 8.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$

	$1$

Paso 8.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 49)$ y coloca el resultado de $(- 49)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$

Paso 8.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$
	$1$	$- 49$

Paso 8.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 49)$ por el divisor $(- 49)$ y coloca el resultado de $(2401)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 48)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$

Paso 8.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$
	$1$	$- 49$	$2353$

Paso 8.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2353)$ por el divisor $(- 49)$ y coloca el resultado de $(- 115297)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$

Paso 8.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

Paso 8.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 115297)$ por el divisor $(- 49)$ y coloca el resultado de $(5649553)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 49)$ .

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$

Paso 8.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 49$	$1$	$0$	$- 48$	$0$	$- 49$
		$- 49$	$2401$	$- 115297$	$5649553$
	$1$	$- 49$	$2353$	$- 115297$	$5649504$

Paso 8.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + - 49 x^{2} + (2353) x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

Paso 8.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} - 49 x^{2} + 2353 x - 115297 + \frac{5649504}{x + 49}$

Paso 9

Como $- 49 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 49$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 49$

Paso 10

Determina los límites superior e inferior.

Cotas superiores: $7, 49$

Cotas inferiores: $- 7, - 49$

Paso 11