Álgebra Ejemplos

$x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 65, \pm 5, \pm 13$

Paso 3

Sustituye $5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1

Sustituye $5$ en el polinomio.

$5^{3} - 11 \cdot 5^{2} + 43 \cdot 5 - 65$

Paso 3.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$125 - 11 \cdot 5^{2} + 43 \cdot 5 - 65$

Paso 3.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$125 - 11 \cdot 25 + 43 \cdot 5 - 65$

Paso 3.4

Multiplica $- 11$ por $25$ .

$125 - 275 + 43 \cdot 5 - 65$

Paso 3.5

Resta $275$ de $125$ .

$- 150 + 43 \cdot 5 - 65$

Paso 3.6

Multiplica $43$ por $5$ .

$- 150 + 215 - 65$

Paso 3.7

Suma $- 150$ y $215$ .

$65 - 65$

Paso 3.8

Resta $65$ de $65$ .

$0$

Paso 4

Como $5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 5$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65}{x - 5}$

Paso 5

Divide $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ por $x - 5$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$43 x$

$65$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 5 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} + 30 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$

Paso 5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$

Paso 5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $13 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$

Paso 5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							+	$13 x$	-	$65$

Paso 5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $13 x - 65$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$

Paso 5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$43 x$	-	$65$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$43 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$
							+	$13 x$	-	$65$
							-	$13 x$	+	$65$
										$0$

Paso 5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 6 x + 13$

Paso 6

Escribe $x^{3} - 11 x^{2} + 43 x - 65$ como un conjunto de factores.

$(x - 5) (x^{2} - 6 x + 13)$