Álgebra Ejemplos

$x^{3} - 12 x^{2} + 49 x - 58$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 58, \pm 2, \pm 29$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 58, \pm 2, \pm 29$

Paso 3

Sustituye $2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 3.1

Sustituye $2$ en el polinomio.

$2^{3} - 12 \cdot 2^{2} + 49 \cdot 2 - 58$

Paso 3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 12 \cdot 2^{2} + 49 \cdot 2 - 58$

Paso 3.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 12 \cdot 4 + 49 \cdot 2 - 58$

Paso 3.4

Multiplica $- 12$ por $4$ .

$8 - 48 + 49 \cdot 2 - 58$

Paso 3.5

Resta $48$ de $8$ .

$- 40 + 49 \cdot 2 - 58$

Paso 3.6

Multiplica $49$ por $2$ .

$- 40 + 98 - 58$

Paso 3.7

Suma $- 40$ y $98$ .

$58 - 58$

Paso 3.8

Resta $58$ de $58$ .

$0$

Paso 4

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 49 x - 58}{x - 2}$

Paso 5

Divide $x^{3} - 12 x^{2} + 49 x - 58$ por $x - 2$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$49 x$

$58$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$49 x$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 10 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$49 x$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$49 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$20 x$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 10 x^{2} + 20 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$49 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$20 x$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$49 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$29 x$

Paso 5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$49 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$29 x$	-	$58$

Paso 5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $29 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$49 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$29 x$	-	$58$

Paso 5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$49 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$29 x$	-	$58$
							+	$29 x$	-	$58$

Paso 5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $29 x - 58$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$49 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$29 x$	-	$58$
							-	$29 x$	+	$58$

Paso 5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$49 x$	-	$58$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	+	$49 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$29 x$	-	$58$
							-	$29 x$	+	$58$
										$0$

Paso 5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 10 x + 29$

Paso 6

Escribe $x^{3} - 12 x^{2} + 49 x - 58$ como un conjunto de factores.

$(x - 2) (x^{2} - 10 x + 29)$