Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x}{x + 7}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{2 y}{y + 7}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2 y}{y + 7} = x$ .

$\frac{2 y}{y + 7} = x$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y + 7, 1$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y + 7, 1$

Paso 2.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y + 7$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $\frac{2 y}{y + 7} = x$ por $y + 7$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{2 y}{y + 7} = x$ por $y + 7$ .

$\frac{2 y}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $y + 7$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 y = x (y + 7)$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y = x y + x \cdot 7$

Paso 2.3.3.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x$ .

$2 y = x y + 7 x$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Resta $x y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y - x y = 7 x$

Paso 2.4.2

Factoriza $y$ de $2 y - x y$ .

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $y$ de $2 y$ .

$y \cdot 2 - x y = 7 x$

Paso 2.4.2.2

Factoriza $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 2 + y (- x) = 7 x$

Paso 2.4.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 2 + y (- x)$ .

$y (2 - x) = 7 x$

Paso 2.4.3

Divide cada término en $y (2 - x) = 7 x$ por $2 - x$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.1

Divide cada término en $y (2 - x) = 7 x$ por $2 - x$ .

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{7 x}{2 - x}$

Paso 2.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.2.1

Cancela el factor común de $2 - x$ .

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Paso 2.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (2 - x)}{2 - x} = \frac{7 x}{2 - x}$

Paso 2.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{7 x}{2 - x}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x}{x + 7}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{2 - (\frac{2 x}{x + 7})}$

Paso 4.2.3

Combina $7$ y $\frac{2 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{2 - \frac{2 x}{x + 7}}$

Paso 4.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.4.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (x + 7)}{x + 7} - \frac{2 x}{x + 7}}$

Paso 4.2.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (x + 7) - 2 x}{x + 7}}$

Paso 4.2.4.3

Reordena los términos.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{- 2 x + 2 (x + 7)}{x + 7}}$

Paso 4.2.4.4

Reescribe $\frac{- 2 x + 2 (x + 7)}{x + 7}$ en forma factorizada.

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Paso 4.2.4.4.1

Factoriza $2$ de $- 2 x + 2 (x + 7)$ .

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Paso 4.2.4.4.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (- x) + 2 (x + 7)}{x + 7}}$

Paso 4.2.4.4.1.2

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (x + 7)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (- x + x + 7)}{x + 7}}$

Paso 4.2.4.4.2

Suma $- x$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 (0 + 7)}{x + 7}}$

Paso 4.2.4.4.3

Suma $0$ y $7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{2 \cdot 7}{x + 7}}$

Paso 4.2.4.5

Multiplica $2$ por $7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Paso 4.2.5

Multiplica $7$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{\frac{14 x}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Paso 4.2.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Paso 4.2.7

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 4.2.7.1

Factoriza $14$ de $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{14 (x)}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Paso 4.2.7.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Paso 4.2.7.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Paso 4.2.8

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 4.2.8.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Paso 4.2.8.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x + 7}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{7 x}{2 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 - x})}{(\frac{7 x}{2 - x}) + 7}$

Paso 4.3.3

Combina $2$ y $\frac{7 x}{2 - x}$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x}{2 - x} + 7}$

Paso 4.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.4.1

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x}{2 - x} + \frac{7 (2 - x)}{2 - x}}$

Paso 4.3.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x + 7 (2 - x)}{2 - x}}$

Paso 4.3.4.3

Reordena los términos.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 x + 7 (2 - x)}{- x + 2}}$

Paso 4.3.4.4

Reescribe $\frac{7 x + 7 (2 - x)}{- x + 2}$ en forma factorizada.

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Paso 4.3.4.4.1

Factoriza $7$ de $7 x + 7 (2 - x)$ .

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Paso 4.3.4.4.1.1

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 (x) + 7 (2 - x)}{- x + 2}}$

Paso 4.3.4.4.1.2

Factoriza $7$ de $7 (x) + 7 (2 - x)$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 (x + 2 - x)}{- x + 2}}$

Paso 4.3.4.4.2

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 (0 + 2)}{- x + 2}}$

Paso 4.3.4.4.3

Suma $0$ y $2$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{7 \cdot 2}{- x + 2}}$

Paso 4.3.4.5

Multiplica $7$ por $2$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 - x}}{\frac{14}{- x + 2}}$

Paso 4.3.5

Multiplica $2$ por $7$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{\frac{14 x}{2 - x}}{\frac{14}{- x + 2}}$

Paso 4.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{14 x}{2 - x} \cdot \frac{- x + 2}{14}$

Paso 4.3.7

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 4.3.7.1

Factoriza $14$ de $14 x$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{14 (x)}{2 - x} \cdot \frac{- x + 2}{14}$

Paso 4.3.7.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{14 x}{2 - x} \cdot \frac{- x + 2}{14}$

Paso 4.3.7.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x}{2 - x} \cdot (- x + 2)$

Paso 4.3.8

Multiplica $\frac{x}{2 - x}$ por $- x + 2$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{2 - x}$

Paso 4.3.9

Cancela el factor común de $- x + 2$ y $2 - x$ .

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Paso 4.3.9.1

Reordena los términos.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Paso 4.3.9.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = \frac{x (- x + 2)}{- x + 2}$

Paso 4.3.9.3

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{7 x}{2 - x}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{2 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 x}{2 - x}$