Álgebra Ejemplos

$\sqrt[3]{x} - 6$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{y} - 6$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{y} - 6 = x$ .

$\sqrt[3]{y} - 6 = x$

Paso 2.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt[3]{y} = x + 6$

Paso 2.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x + 6)}^{3}$

Paso 2.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{y}$ como $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x + 6)}^{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 6)}^{3}$

Paso 2.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x + 6)}^{3}$

Paso 2.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = {(x + 6)}^{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Simplifica.

$y = {(x + 6)}^{3}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica ${(x + 6)}^{3}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot 6 + 3 x \cdot 6^{2} + 6^{3}$

Paso 2.4.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.1.2.1

Multiplica $6$ por $3$ .

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 3 x \cdot 6^{2} + 6^{3}$

Paso 2.4.3.1.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 3 x \cdot 36 + 6^{3}$

Paso 2.4.3.1.2.3

Multiplica $36$ por $3$ .

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 6^{3}$

Paso 2.4.3.1.2.4

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$y = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x} - 6$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Usa el teorema del binomio.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.2.1.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.2.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot - 6 + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.2.3

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.2.4

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 36 + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.2.5

Multiplica $36$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} + {(- 6)}^{3} + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.2.6

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 {(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2} + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.3

Reescribe ${(\sqrt[3]{x} - 6)}^{2}$ como $(\sqrt[3]{x} - 6) (\sqrt[3]{x} - 6)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 ((\sqrt[3]{x} - 6) (\sqrt[3]{x} - 6)) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.4

Expande $(\sqrt[3]{x} - 6) (\sqrt[3]{x} - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} - 6) - 6 (\sqrt[3]{x} - 6)) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 (\sqrt[3]{x} - 6)) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.5.1.1

Multiplica $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Paso 4.2.3.5.1.1.1

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.5.1.1.2

Eleva $\sqrt[3]{x}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.5.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.5.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.5.1.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot - 6 - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.5.1.3

Mueve $- 6$ a la izquierda de $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} - 6 \cdot \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \cdot - 6) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.5.1.4

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} - 6 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt[3]{x} + 36) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.5.2

Resta $6 \sqrt[3]{x}$ de $- 6 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 (\sqrt[3]{x^{2}} - 12 \sqrt[3]{x} + 36) + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 18 (- 12 \sqrt[3]{x}) + 18 \cdot 36 + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.7

Simplifica.

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Paso 4.2.3.7.1

Multiplica $- 12$ por $18$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 18 \cdot 36 + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.7.2

Multiplica $18$ por $36$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 (\sqrt[3]{x} - 6) + 216$

Paso 4.2.3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} + 108 \cdot - 6 + 216$

Paso 4.2.3.9

Multiplica $108$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$

Paso 4.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \sqrt[3]{x} - 216 + 18 \sqrt[3]{x^{2}} - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$ .

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Paso 4.2.4.1.1

Suma $- 18 \sqrt[3]{x^{2}}$ y $18 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 0 + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$

Paso 4.2.4.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 648 + 216$

Paso 4.2.4.1.3

Resta $648$ de $648$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 0 + 108 \sqrt[3]{x} + 216$

Paso 4.2.4.1.4

Suma $x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x} + 216$

Paso 4.2.4.1.5

Suma $- 216$ y $216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} + 0 - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Paso 4.2.4.1.6

Suma $x + 108 \sqrt[3]{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 108 \sqrt[3]{x} - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Paso 4.2.4.2

Resta $216 \sqrt[3]{x}$ de $108 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x - 108 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Paso 4.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x - 108 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$ .

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Paso 4.2.4.3.1

Suma $- 108 \sqrt[3]{x}$ y $108 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x + 0$

Paso 4.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} - 6) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216} - 6$

Paso 4.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216} - 6$

Paso 4.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.4.1

Haz que cada término coincida con los términos de la fórmula del teorema del binomio.

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{x^{3} + 3 \cdot (6 x^{2}) + 3 \cdot (6^{2} x) + 6^{3}} - 6$

Paso 4.3.4.2

Factoriza $x^{3} + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 \cdot 6^{2} x + 6^{3}$ mediante el teorema del binomio.

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = \sqrt[3]{{(x + 6)}^{3}} - 6$

Paso 4.3.4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = x + 6 - 6$

Paso 4.3.5

Combina los términos opuestos en $x + 6 - 6$ .

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Paso 4.3.5.1

Resta $6$ de $6$ .

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = x + 0$

Paso 4.3.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{x} - 6$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216$