Álgebra Ejemplos

$8^{x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 8^{y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $8^{y} = x$ .

$8^{y} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (8^{y}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande $\ln (8^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (8) = \ln (x)$

Paso 2.4

Divide cada término en $y \ln (8) = \ln (x)$ por $\ln (8)$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $y \ln (8) = \ln (x)$ por $\ln (8)$ .

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (8)$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ es la inversa de $f (x) = 8^{x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} \cdot 8^{x}$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{\ln (8^{x})}{\ln (8)}$

Paso 4.2.3

Expande $\ln (8^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $\ln (8)$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Paso 4.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 8^{x} = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = 8^{\frac{\ln (x)}{\ln (8)}}$

Paso 4.3.3

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = 8^{\log_{8} (x)}$

Paso 4.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ es la inversa de $f (x) = 8^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$