Álgebra Ejemplos

$4$ , $2 i$

Paso 1

Las raíces son los puntos en los que la gráfica forma una intersección con el eje x $(y = 0)$ .

$y = 0$ en las raíces

Paso 2

La raíz de $x = 4$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (4) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x - 4$ .

Paso 3

La raíz de $x = 2 i$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (2 i) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x - 2 i$ .

Paso 4

La raíz de $x = - 2 i$ se obtuvo al resolver $x$ cuando $x - (- 2 i) = y$ y $y = 0$ .

El factor es $x + 2 i$ .

Paso 5

Combina todos los factores en una sola ecuación.

$y = (x - 4) (x - 2 i) (x + 2 i)$

Paso 6

Multiplica todos los factores para simplificar la ecuación $y = (x - 4) (x - 2 i) (x + 2 i)$ .

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Paso 6.1

Expande $(x - 4) (x - 2 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = (x (x - 2 i) - 4 (x - 2 i)) (x + 2 i)$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = (x \cdot x + x (- 2 i) - 4 (x - 2 i)) (x + 2 i)$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = (x \cdot x + x (- 2 i) - 4 x - 4 (- 2 i)) (x + 2 i)$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = (x^{2} + x (- 2 i) - 4 x - 4 (- 2 i)) (x + 2 i)$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$y = (x^{2} + x (- 2 i) - 4 x + 8 i) (x + 2 i)$

Paso 6.3

Expande $(x^{2} + x (- 2 i) - 4 x + 8 i) (x + 2 i)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y = x^{2} x + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4

Simplifica los términos.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.4.1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{2} x + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (2 i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$y = x^{3} + 2 \cdot (x^{2} i) + x (- 2 i) x + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.3.1

Mueve $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x \cdot x (- 2 i) + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 2 i) (2 i) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.4

Multiplica $x (- 2 i) (2 i)$ .

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Paso 6.4.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 i) i - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 (i i)) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 (i i)) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 i^{1 + 1}) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 i^{2}) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x (- 4 \cdot - 1) - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + x \cdot 4 - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.7

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 \cdot x - 4 x \cdot x - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.8.1

Mueve $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 (x \cdot x) - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 4 x (2 i) + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.9

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 8 i (2 i)$

Paso 6.4.1.10

Multiplica $8 i (2 i)$ .

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Paso 6.4.1.10.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 i i$

Paso 6.4.1.10.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 (i i)$

Paso 6.4.1.10.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 (i i)$

Paso 6.4.1.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 i^{1 + 1}$

Paso 6.4.1.10.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 i^{2}$

Paso 6.4.1.11

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x + 16 \cdot - 1$

Paso 6.4.1.12

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Paso 6.4.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.4.2.1

Combina los términos opuestos en $x^{3} + 2 x^{2} i + x^{2} (- 2 i) + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$ .

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Paso 6.4.2.1.1

Reordena los factores en los términos $2 x^{2} i$ y $x^{2} (- 2 i)$ .

$y = x^{3} + 2 i x^{2} - 2 i x^{2} + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Paso 6.4.2.1.2

Resta $2 i x^{2}$ de $2 i x^{2}$ .

$y = x^{3} + 0 + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Paso 6.4.2.1.3

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} - 8 x i + 8 i x - 16$

Paso 6.4.2.1.4

Reordena los factores en los términos $- 8 x i$ y $8 i x$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} - 8 i x + 8 i x - 16$

Paso 6.4.2.1.5

Suma $- 8 i x$ y $8 i x$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} + 0 - 16$

Paso 6.4.2.1.6

Suma $x^{3} + 4 x - 4 x^{2}$ y $0$ .

$y = x^{3} + 4 x - 4 x^{2} - 16$

Paso 6.4.2.2

Mueve $4 x$ .

$y = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 16$

Paso 7