Álgebra Ejemplos

$y = \log_{12} (\frac{1}{x})$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \log_{12} (\frac{1}{y})$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ .

$\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{12} (\frac{1}{y}) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$12^{x} = \frac{1}{y}$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{y} = 12^{x}$ .

$\frac{1}{y} = 12^{x}$

Paso 2.3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1$

Paso 2.3.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 2.3.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{y} = 12^{x}$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{y} = 12^{x}$ por $y$ .

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Paso 2.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} y = 12^{x} y$

Paso 2.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = 12^{x} y$

Paso 2.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.3.1

Reordena los factores en $12^{x} y$ .

$1 = y \cdot 12^{x}$

Paso 2.3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.3.4.1

Reescribe la ecuación como $y \cdot 12^{x} = 1$ .

$y \cdot 12^{x} = 1$

Paso 2.3.4.2

Divide cada término en $y \cdot 12^{x} = 1$ por $12^{x}$ y simplifica.

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Paso 2.3.4.2.1

Divide cada término en $y \cdot 12^{x} = 1$ por $12^{x}$ .

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Paso 2.3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $12^{x}$ .

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Paso 2.3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot 12^{x}}{12^{x}} = \frac{1}{12^{x}}$

Paso 2.3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{12^{x}}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ es la inversa de $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x}))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{12^{\log_{12} (\frac{1}{x})}}$

Paso 4.2.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = 1 x$

Paso 4.2.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\log_{12} (\frac{1}{x})) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{1}{12^{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (\frac{1}{\frac{1}{12^{x}}})$

Paso 4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1 \cdot 12^{x})$

Paso 4.3.4

Reescribe $\log_{12} (1 \cdot 12^{x})$ como $\log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + \log_{12} (12^{x})$

Paso 4.3.5

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \log_{12} (12)$

Paso 4.3.6

El logaritmo en base $12$ de $12$ es $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x \cdot 1$

Paso 4.3.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = \log_{12} (1) + x$

Paso 4.3.8

El logaritmo en base $12$ de $1$ es $0$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = 0 + x$

Paso 4.3.9

Suma $0$ y $x$ .

$f (\frac{1}{12^{x}}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$ es la inversa de $f (x) = \log_{12} (\frac{1}{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{12^{x}}$