Álgebra Ejemplos

$x^{5} - 3 x^{4} - 15 x^{3} + 45 x^{2} - 16 x + 48 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$x^{5} - 15 x^{3} - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $x^{5} - 15 x^{3} - 16 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 15 x^{3} - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $- 15 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2}) - 16 x - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $x$ de $- 16 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2}) + x \cdot - 16 - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- 15 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 16 - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.2.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} - 15 x^{2}) + x \cdot - 16$ .

$x (x^{4} - 15 x^{2} - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (u^{2} - 15 u - 16) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.5

Factoriza $u^{2} - 15 u - 16$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 16$ y cuya suma es $- 15$ .

$- 16, 1$

Paso 1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x ((u - 16) (u + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 16) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.8

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.8.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.9

Factoriza $3$ de $- 3 x^{4} + 45 x^{2} + 48$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.9.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{4}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 45 x^{2} + 48 = 0$

Paso 1.9.2

Factoriza $3$ de $45 x^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2}) + 48 = 0$

Paso 1.9.3

Factoriza $3$ de $48$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2}) + 3 (16) = 0$

Paso 1.9.4

Factoriza $3$ de $3 (- x^{4}) + 3 (15 x^{2})$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 15 x^{2}) + 3 (16) = 0$

Paso 1.9.5

Factoriza $3$ de $3 (- x^{4} + 15 x^{2}) + 3 (16)$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 15 x^{2} + 16) = 0$

Paso 1.10

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 15 x^{2} + 16) = 0$

Paso 1.11

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 15 u + 16) = 0$

Paso 1.12

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 16 = - 16$ y cuya suma es $b = 15$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.1.1

Factoriza $15$ de $15 u$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 15 (u) + 16) = 0$

Paso 1.12.1.2

Reescribe $15$ como $- 1$ más $16$

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 16) u + 16) = 0$

Paso 1.12.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 16 u + 16) = 0$

Paso 1.12.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 16 u + 16) = 0$

Paso 1.12.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 16 (- u - 1)) = 0$

Paso 1.12.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 1$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 16)) = 0$

Paso 1.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 16)) = 0$

Paso 1.14

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Paso 1.15

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.15.1

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.15.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Paso 1.15.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Paso 1.15.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Paso 1.16

Factoriza $(x + 4) (x - 4)$ de $x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.16.1

Factoriza $(x + 4) (x - 4)$ de $x (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4) = 0$

Paso 1.16.2

Factoriza $(x + 4) (x - 4)$ de $3 (- x^{2} - 1) (x + 4) (x - 4)$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 4) (x - 4) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.16.3

Factoriza $(x + 4) (x - 4)$ de $(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 4) (x - 4) (3 (- x^{2} - 1))$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.17

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.18

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.18.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.18.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.18.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 4) (x - 4) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.18.2

Suma $1$ y $2$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.19

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.20

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.21

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.22

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

Paso 1.23

Reordena los términos.

$(x + 4) (x - 4) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

Paso 1.24

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.24.1

Reescribe $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.24.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.24.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 4) (x - 4) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

Paso 1.24.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

Paso 1.24.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 3$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.24.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 4) (x - 4) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 3

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 6

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 6.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 6.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 6.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 6.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 4) (x - 4) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 4, 4, 3, i, - i$

Paso 8