Álgebra Ejemplos

$x^{4} + 4 x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$4 x^{3} + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} + 16 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 16 x + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $4 x$ de $16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (4)$ .

$4 x (x^{2} + 4) + x^{4} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Paso 1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} + 12 = 0$

Paso 1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Paso 1.5

Factoriza $u^{2} + 7 u + 12$ con el método AC.

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Paso 1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $7$ .

$3, 4$

Paso 1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 x (x^{2} + 4) + (u + 3) (u + 4) = 0$

Paso 1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.7

Factoriza $x^{2} + 4$ de $4 x (x^{2} + 4) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

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Paso 1.7.1

Factoriza $x^{2} + 4$ de $4 x (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.7.2

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 3) (x^{2} + 4)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3) = 0$

Paso 1.7.3

Factoriza $x^{2} + 4$ de $(x^{2} + 4) (4 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} + 3)$ .

$(x^{2} + 4) (4 x + x^{2} + 3) = 0$

Paso 1.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 4) (4 u + u^{2} + 3) = 0$

Paso 1.9

Factoriza $4 u + u^{2} + 3$ con el método AC.

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Paso 1.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 1.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{2} + 4) ((u + 1) (u + 3)) = 0$

Paso 1.10

Factoriza.

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Paso 1.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 1) (x + 3)) = 0$

Paso 1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 3

Establece $x^{2} + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{2} + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{2} + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 4$

Paso 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Paso 3.2.3.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 3.2.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 3.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 3.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 4) (x + 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 2 i, - 2 i, - 1, - 3$

Paso 7