Álgebra Ejemplos

${(x + \frac{1}{2})}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(\frac{1}{2})}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(x)}^{3}$ por $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} \cdot \frac{1^{0}}{2^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{3} \cdot \frac{1}{2^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{3} \cdot \frac{1}{1} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.5

Divide $1$ por $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.6

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.7

Simplifica.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.8

Multiplica $3 x^{2} \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.8.1

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + x^{2} \frac{3}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.8.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{3}{2}$ .

$x^{3} + \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.9

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 \cdot x^{2}}{2} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.10

Simplifica.

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 \cdot x \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.11

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x \cdot \frac{1}{2^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.13

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.14

Multiplica $3 x \frac{1}{4}$ .

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Paso 4.14.1

Combina $3$ y $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + x \frac{3}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.14.2

Combina $x$ y $\frac{3}{4}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 3}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.15

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 \cdot x}{4} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.16

Multiplica ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.17

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + 1 \cdot {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.18

Multiplica ${(\frac{1}{2})}^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

Paso 4.19

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Paso 4.20

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2^{3}}$

Paso 4.21

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{1}{8}$