Álgebra Ejemplos

$3 x^{4} - 5 x^{2} + 25 = 0$

Paso 1

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$3 u^{2} - 5 u + 25 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 5$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 25)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot 25}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 25$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot 25}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 300}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.3

Resta $300$ de $25$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 275}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 275$ como $- 1 (275)$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 275}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (275)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{275}$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{275}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$u = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{275}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.7

Reescribe $275$ como $5^{2} \cdot 11$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $25$ de $275$ .

$u = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (11)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.7.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$u = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{11})}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.9

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$u = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$u = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{11}}{6}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = \frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}, \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Paso 6

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = \frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Paso 7

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = \frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}$

Paso 8

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}}$

Paso 8.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}}$ .

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Paso 8.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{5 + 5 i \sqrt{11}}{6}}$ como $\frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.2.2

Multiplica $\frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 8.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 8.2.3.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Paso 8.2.3.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Paso 8.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 8.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 8.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 8.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 8.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 8.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 8.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Paso 8.2.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 + 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Paso 8.2.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Paso 8.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 8.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Paso 8.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Paso 8.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Paso 9

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Paso 10

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = \frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}$

Paso 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}}$

Paso 10.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}}$ .

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Paso 10.3.1

Reescribe $\sqrt{\frac{5 - 5 i \sqrt{11}}{6}}$ como $\frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Paso 10.3.2

Multiplica $\frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Paso 10.3.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 10.3.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Paso 10.3.3.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Paso 10.3.3.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Paso 10.3.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Paso 10.3.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Paso 10.3.3.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 10.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 10.3.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 10.3.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.3.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.3.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Paso 10.3.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Paso 10.3.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 - 5 i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Paso 10.3.4

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Paso 10.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 10.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Paso 10.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Paso 10.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Paso 11

La solución a $3 x^{4} - 5 x^{2} + 25 = 0$ es $x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ .

$x = \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 + 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(5 - 5 i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Paso 12