Álgebra Ejemplos

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Paso 1

Para obtener el número posible de raíces positivas, mira los signos en los coeficientes y cuenta la cantidad de veces que los signos en los coeficientes cambian de positivo a negativo o de negativo a positivo.

$f (x) = - 3 x^{4} + 5 x^{3} - x^{2} + 8 x + 4$

Paso 2

Como hay $3$ cambios de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $3$ raíces positivas (regla de los signos de Descartes). Los otros números posibles de las raíces negativas se obtienen mediante la resta de los pares de raíces (por ej., $(3 - 2)$ ).

Raíces positivas: $3$ o $1$

Paso 3

Para obtener el número posible de raíces negativas, reemplaza $x$ por $- x$ y repite la comparación del signo.

$f (- x) = - 3 {(- x)}^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = - 3 ({(- 1)}^{4} x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Paso 4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- x) = - 3 (1 x^{4}) + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Paso 4.3

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Paso 4.4

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Paso 4.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} + 5 (- x^{3}) - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Paso 4.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - {(- x)}^{2} + 8 (- x) + 4$

Paso 4.7

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Paso 4.8

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.8.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Paso 4.8.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 4.8.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) x^{2}) + 8 (- x) + 4$

Paso 4.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Paso 4.8.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} + {(- 1)}^{3} x^{2} + 8 (- x) + 4$

Paso 4.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} + 8 (- x) + 4$

Paso 4.10

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (- x) = - 3 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$

Paso 5

Como hay $1$ cambio de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $1$ raíz negativa (regla de los signos de Descartes).

Raíces negativas: $1$

Paso 6

El número posible de raíces positivas es $3$ o $1$ y el número posible de raíces negativas es $1$ .

Raíces positivas: $3$ o $1$

Raíces negativas: $1$