Álgebra Ejemplos

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$

Paso 1

Establece $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ igual a $0$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

Paso 2.1.1.3

Sustituye $- 0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye $- 0.5$ en el polinomio.

$2 {(- 0.5)}^{3} - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Paso 2.1.1.3.2

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Paso 2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 0.125$ .

$- 0.25 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Paso 2.1.1.3.4

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $2$ .

$- 0.25 - 3 \cdot 0.25 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Paso 2.1.1.3.5

Multiplica $- 3$ por $0.25$ .

$- 0.25 - 0.75 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Paso 2.1.1.3.6

Resta $0.75$ de $- 0.25$ .

$- 1 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

Paso 2.1.1.3.7

Multiplica $- 32$ por $- 0.5$ .

$- 1 + 16 - 15$

Paso 2.1.1.3.8

Suma $- 1$ y $16$ .

$15 - 15$

Paso 2.1.1.3.9

Resta $15$ de $15$ .

$0$

Paso 2.1.1.4

Como $- 0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15}{2 x + 1}$

Paso 2.1.1.5

Divide $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ por $2 x + 1$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$32 x$

$15$

Paso 2.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$

Paso 2.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$

Paso 2.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

Paso 2.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 2.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$

Paso 2.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$

Paso 2.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 30 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$

Paso 2.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							-	$30 x$	-	$15$

Paso 2.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 30 x - 15$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							+	$30 x$	+	$15$

Paso 2.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							+	$30 x$	+	$15$
										$0$

Paso 2.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 2 x - 15$

Paso 2.1.1.6

Escribe $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ como un conjunto de factores.

$(2 x + 1) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 5, 3$

Paso 2.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(2 x + 1) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x + 1) (x - 5) (x + 3) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 2.3

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.5

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) (x - 5) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, 5, - 3$

Paso 3