Álgebra Ejemplos

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$

Paso 1

Establece $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ igual a $0$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 136, \pm 2, \pm 68, \pm 4, \pm 34, \pm 8, \pm 17$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 136, \pm 2, \pm 68, \pm 4, \pm 34, \pm 8, \pm 17$

Paso 2.1.3

Sustituye $- 4$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.1

Sustituye $- 4$ en el polinomio.

${(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 10 \cdot - 4 + 136$

Paso 2.1.3.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$- 64 - 2 {(- 4)}^{2} + 10 \cdot - 4 + 136$

Paso 2.1.3.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$- 64 - 2 \cdot 16 + 10 \cdot - 4 + 136$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 2$ por $16$ .

$- 64 - 32 + 10 \cdot - 4 + 136$

Paso 2.1.3.5

Resta $32$ de $- 64$ .

$- 96 + 10 \cdot - 4 + 136$

Paso 2.1.3.6

Multiplica $10$ por $- 4$ .

$- 96 - 40 + 136$

Paso 2.1.3.7

Resta $40$ de $- 96$ .

$- 136 + 136$

Paso 2.1.3.8

Suma $- 136$ y $136$ .

$0$

Paso 2.1.4

Como $- 4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136}{x + 4}$

Paso 2.1.5

Divide $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ por $x + 4$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$10 x$

$136$

Paso 2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$

Paso 2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Paso 2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$

Paso 2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 6 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$

Paso 2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$24 x$

Paso 2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 6 x^{2} - 24 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Paso 2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$

Paso 2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$

Paso 2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $34 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$

Paso 2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							+	$34 x$	+	$136$

Paso 2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $34 x + 136$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							-	$34 x$	-	$136$

Paso 2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							-	$34 x$	-	$136$
										$0$

Paso 2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 6 x + 34$

Paso 2.1.6

Escribe $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ como un conjunto de factores.

$(x + 4) (x^{2} - 6 x + 34) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 6 x + 34 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.4

Establece $x^{2} - 6 x + 34$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2} - 6 x + 34$ igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 34 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} - 6 x + 34 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = 34$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.3.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

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Paso 2.4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $34$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 136}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.3

Resta $136$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.4

Reescribe $- 100$ como $- 1 (100)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (100)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.7

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.1.9

Mueve $10$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 10 i}{2}$

Paso 2.4.2.3.3

Simplifica $\frac{6 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 5 i$

Paso 2.4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 3 + 5 i, 3 - 5 i$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 4) (x^{2} - 6 x + 34) = 0$ verdadera.

$x = - 4, 3 + 5 i, 3 - 5 i$

Paso 3