Álgebra Ejemplos

$f (x) = 3 (x - 1) {(x + 5)}^{2}$

Paso 1

Identifica el grado de la función.

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Paso 1.1

Simplifica y reordena el polinomio.

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Paso 1.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x + 3 \cdot - 1) {(x + 5)}^{2}$

Paso 1.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(3 x - 3) {(x + 5)}^{2}$

Paso 1.1.1.2.2

Reescribe ${(x + 5)}^{2}$ como $(x + 5) (x + 5)$ .

$(3 x - 3) ((x + 5) (x + 5))$

Paso 1.1.2

Expande $(x + 5) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x - 3) (x (x + 5) + 5 (x + 5))$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)$

Paso 1.1.3.2

Suma $5 x$ y $5 x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$

Paso 1.1.4

Expande $(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$3 x \cdot x^{2} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 1.1.5

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 1.1.5.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 1.1.5.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 1.1.5.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2 + 1} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 1.1.5.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$3 x^{3} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 1.1.5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x \cdot x + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 1.1.5.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.5.1.3.1

Mueve $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 (x \cdot x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 1.1.5.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 1.1.5.1.4

Multiplica $3$ por $10$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 1.1.5.1.5

Multiplica $25$ por $3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 1.1.5.1.6

Multiplica $10$ por $- 3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 3 \cdot 25$

Paso 1.1.5.1.7

Multiplica $- 3$ por $25$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 75$

Paso 1.1.5.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.5.2.1

Resta $3 x^{2}$ de $30 x^{2}$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 75 x - 30 x - 75$

Paso 1.1.5.2.2

Resta $30 x$ de $75 x$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 45 x - 75$

Paso 1.2

El mayor exponente es el grado del polinomio.

$3$

Paso 2

Como el grado es impar, los extremos de la función apuntarán hacia direcciones opuestas.

Impar

Paso 3

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 3.1

Simplifica el polinomio, luego reordénalo de izquierda a derecha, comienza por el término de mayor grado.

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Paso 3.1.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x + 3 \cdot - 1) {(x + 5)}^{2}$

Paso 3.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.1.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$(3 x - 3) {(x + 5)}^{2}$

Paso 3.1.1.2.2

Reescribe ${(x + 5)}^{2}$ como $(x + 5) (x + 5)$ .

$(3 x - 3) ((x + 5) (x + 5))$

Paso 3.1.2

Expande $(x + 5) (x + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x - 3) (x (x + 5) + 5 (x + 5))$

Paso 3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5))$

Paso 3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x - 3) (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Paso 3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5)$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5)$

Paso 3.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 5 x + 5 x + 25)$

Paso 3.1.3.2

Suma $5 x$ y $5 x$ .

$(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$

Paso 3.1.4

Expande $(3 x - 3) (x^{2} + 10 x + 25)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$3 x \cdot x^{2} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 3.1.5

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.5.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$3 (x^{2} x) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 3.1.5.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.1.5.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (x^{2} x^{1}) + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 3.1.5.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2 + 1} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 3.1.5.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$3 x^{3} + 3 x (10 x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 3.1.5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x \cdot x + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 3.1.5.1.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1.3.1

Mueve $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 (x \cdot x) + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 3.1.5.1.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 10 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 3.1.5.1.4

Multiplica $3$ por $10$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 3 x \cdot 25 - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 3.1.5.1.5

Multiplica $25$ por $3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 3 (10 x) - 3 \cdot 25$

Paso 3.1.5.1.6

Multiplica $10$ por $- 3$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 3 \cdot 25$

Paso 3.1.5.1.7

Multiplica $- 3$ por $25$ .

$3 x^{3} + 30 x^{2} + 75 x - 3 x^{2} - 30 x - 75$

Paso 3.1.5.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.1.5.2.1

Resta $3 x^{2}$ de $30 x^{2}$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 75 x - 30 x - 75$

Paso 3.1.5.2.2

Resta $30 x$ de $75 x$ .

$3 x^{3} + 27 x^{2} + 45 x - 75$

Paso 3.2

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$3 x^{3}$

Paso 3.3

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$3$

Paso 4

Como el coeficiente principal es positivo, la gráfica se eleva a la derecha.

Positivo

Paso 5

Usa el grado de la función, además del signo del coeficiente principal, para determinar el comportamiento.

1. Par y positivo: se eleva a la izquierda y se eleva a la derecha.

2. Par y negativo: cae a la izquierda y cae a la derecha.

3. Impar y positivo: cae a la izquierda y se eleva a la derecha.

4. Impar y negativo: se eleva a la izquierda y cae a la derecha.

Paso 6

Determina el comportamiento.

Cae a la izquierda y sube a la derecha

Paso 7