Álgebra Ejemplos

$y = \log_{4} (x) + 1$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \log_{4} (y) + 1$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\log_{4} (y) + 1 = x$ .

$\log_{4} (y) + 1 = x$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\log_{4} (y) = x - 1$

Paso 2.3

Reescribe $\log_{4} (y) = x - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{x - 1} = y$

Paso 2.4

Reescribe la ecuación como $y = 4^{x - 1}$ .

$y = 4^{x - 1}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{(\log_{4} (x) + 1) - 1}$

Paso 4.2.3

Combina los términos opuestos en $(\log_{4} (x) + 1) - 1$ .

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Paso 4.2.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x) + 0}$

Paso 4.2.3.2

Suma $\log_{4} (x)$ y $0$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = 4^{\log_{4} (x)}$

Paso 4.2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log_{4} (x) + 1) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (4^{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4^{x - 1}) + 1$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $x - 1$ fuera del exponente.

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \log_{4} (4) + 1$

Paso 4.3.3.2

El logaritmo en base $4$ de $4$ es $1$ .

$f (4^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Paso 4.3.3.3

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 4.3.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \log_{4} (x) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$