Álgebra Ejemplos

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{4}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{3} - x^{2} = 0$

Paso 1.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) - x^{2} = 0$

Paso 1.1.4

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Paso 1.1.5

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2})$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Paso 1.1.6

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) + x^{2} (3 x)$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1 = 0$

Paso 1.1.7

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Paso 1.2

Factoriza $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Paso 1.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1$

Paso 1.2.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.2.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 1.2.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 1.2.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$1 - 3 + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 1.2.3.5

Resta $3$ de $1$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Paso 1.2.3.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Paso 1.2.3.7

Suma $- 2$ y $3$ .

$1 - 1$

Paso 1.2.3.8

Resta $1$ de $1$ .

$0$

Paso 1.2.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x - 1}$

Paso 1.2.5

Divide $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ por $x - 1$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Paso 1.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Paso 1.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 1.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 1.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 1.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 1.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 1.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Paso 1.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Paso 1.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$

Paso 1.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Paso 1.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$

Paso 1.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

Paso 1.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 1$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

Paso 1.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

Paso 1.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 2 x + 1$

Paso 1.2.6

Escribe $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ como un conjunto de factores.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1)) = 0$

Paso 1.3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 x + 1^{2})) = 0$

Paso 1.3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.3.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Paso 1.3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Paso 1.4

Combina factores semejantes.

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Paso 1.4.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} ((x - 1) {(x - 1)}^{2}) = 0$

Paso 1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} {(x - 1)}^{1 + 2} = 0$

Paso 1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 3

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Establece ${(x - 1)}^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece ${(x - 1)}^{3}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Paso 4.2

Resuelve ${(x - 1)}^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 6