Álgebra Ejemplos

$f (x) = - 4 x^{2} - 10 x - 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $- 4 x^{2} - 10 x - 2$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 4$

$b = - 10$

$c = - 2$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 (- 4)}$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 4}$

Paso 1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 5}{- 4}$

Paso 1.1.3.2.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$d = \frac{5}{4}$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$e = - 2 - \frac{100}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$e = - 2 - \frac{100}{- 16}$

Paso 1.1.4.2.1.3

Cancela el factor común de $100$ y $- 16$ .

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Paso 1.1.4.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $100$ .

$e = - 2 - \frac{4 (25)}{- 16}$

Paso 1.1.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.1.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 25}{4 \cdot - 4}$

Paso 1.1.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = - 2 - \frac{25}{- 4}$

Paso 1.1.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - 2 - - \frac{25}{4}$

Paso 1.1.4.2.1.5

Multiplica $- - \frac{25}{4}$ .

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Paso 1.1.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = - 2 + 1 (\frac{25}{4})$

Paso 1.1.4.2.1.5.2

Multiplica $\frac{25}{4}$ por $1$ .

$e = - 2 + \frac{25}{4}$

Paso 1.1.4.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$e = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Paso 1.1.4.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Paso 1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 2 \cdot 4 + 25}{4}$

Paso 1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$e = \frac{- 8 + 25}{4}$

Paso 1.1.4.2.5.2

Suma $- 8$ y $25$ .

$e = \frac{17}{4}$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 4 {(x + \frac{5}{4})}^{2} + \frac{17}{4}$ .

$- 4 {(x + \frac{5}{4})}^{2} + \frac{17}{4}$

Paso 1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - 4 {(x + \frac{5}{4})}^{2} + \frac{17}{4}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - 4$

$h = - \frac{5}{4}$

$k = \frac{17}{4}$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{4}, \frac{17}{4})$

Paso 4