Álgebra Ejemplos

$y = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{\sqrt{3 y - 2}}{2}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} = x$ .

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} = x$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{3 y - 2}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Paso 2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{3 y - 2} = x \cdot 2$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\sqrt{3 y - 2} = 2 x$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 y - 2}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 2.4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 y - 2}$ como ${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Simplifica ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 2.4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Paso 2.4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 y - 2)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Simplifica.

$3 y - 2 = {(2 x)}^{2}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Simplifica ${(2 x)}^{2}$ .

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Paso 2.4.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$3 y - 2 = 2^{2} x^{2}$

Paso 2.4.2.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 y - 2 = 4 x^{2}$

Paso 2.4.3

Resuelve $y$

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Paso 2.4.3.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 4 x^{2} + 2$

Paso 2.4.3.2

Divide cada término en $3 y = 4 x^{2} + 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.2.1

Divide cada término en $3 y = 4 x^{2} + 2$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 2.4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 2.4.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 {(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})}^{2}}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 {(\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2})}^{2} + 2}{3}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{\sqrt{3 x - 2}}^{2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe ${\sqrt{3 x - 2}}^{2}$ como $3 x - 2$ .

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Paso 4.2.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x - 2}$ como ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Paso 4.2.4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Paso 4.2.4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Paso 4.2.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2}{3}$

Paso 4.2.4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{2^{2}}) + 2}{3}$

Paso 4.2.4.2.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{2^{2}}) + 2}{3}$

Paso 4.2.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{4}) + 2}{3}$

Paso 4.2.4.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{4 (\frac{3 x - 2}{4}) + 2}{3}$

Paso 4.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x - 2 + 2}{3}$

Paso 4.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.5.1

Combina los términos opuestos en $3 x - 2 + 2$ .

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Paso 4.2.5.1.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x + 0}{3}$

Paso 4.2.5.1.2

Suma $3 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = \frac{3 x}{3}$

Paso 4.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) - 2}}{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{4 x^{2} + 2}{3}) - 2}}{2}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $2$ de $4 x^{2} + 2$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2}) + 2}{3}) - 2}}{2}$

Paso 4.3.3.2.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (1)}{3}) - 2}}{2}$

Paso 4.3.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (1)$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{3}) - 2}}{2}$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{3 (\frac{2 (2 x^{2} + 1)}{3}) - 2}}{2}$

Paso 4.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{2 (2 x^{2} + 1) - 2}}{2}$

Paso 4.3.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1 - 2}}{2}$

Paso 4.3.3.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 \cdot 1 - 2}}{2}$

Paso 4.3.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 2 - 2}}{2}$

Paso 4.3.3.7

Resta $2$ de $2$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2} + 0}}{2}$

Paso 4.3.3.8

Suma $4 x^{2}$ y $0$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{4 x^{2}}}{2}$

Paso 4.3.3.9

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2}}}{2}$

Paso 4.3.3.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 4.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$ es la inversa de $f (x) = \frac{\sqrt{3 x - 2}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{4 x^{2}}{3} + \frac{2}{3}$