Álgebra Ejemplos

$y = 3 {(x + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{2}{3}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + \frac{1}{3})}^{2}$ como $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ .

$f (x) = 3 ((x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Paso 1.2

Expande $(x + \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 3 (x (x + \frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} \cdot (x + \frac{1}{3})) + \frac{2}{3}$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 3 (x \cdot x + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.3.1.2

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.3.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 1.3.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.3.1.4.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.3.2

Suma $\frac{x}{3}$ y $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + 2 (\frac{x}{3}) + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.4

Combina $2$ y $\frac{x}{3}$ .

$f (x) = 3 (x^{2} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común.

$f (x) = 3 x^{2} + 3 (\frac{2 x}{3}) + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.6.1.2

Reescribe la expresión.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{9}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.6.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 (3)}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + \frac{2}{3}$

Paso 1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{1 + 2}{3}$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1

Suma $1$ y $2$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{3}{3}$

Paso 2.2.2

Divide $3$ por $3$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$

Paso 3

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 4

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{2}{2 (3)}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 3}$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 5

Evalúa $f (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 {(- \frac{1}{3})}^{2} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Paso 5.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3^{2}}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Paso 5.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{9}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Paso 5.2.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.6.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 (3)}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Paso 5.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Paso 5.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 2 (- \frac{1}{3}) + 1$

Paso 5.2.1.7

Multiplica $2 (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 5.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3}) + 1$

Paso 5.2.1.7.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} + 1$

Paso 5.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1$

Paso 5.2.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{1 - 2}{3}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 1 + \frac{- 1}{3}$

Paso 5.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 1}{3}$

Paso 5.2.2.2.5

Resta $1$ de $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{2}{3}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 6

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

Paso 7