Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 8}{x - 1} \geq - 2$

Paso 1

Suma $2$ a ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x + 8}{x - 1} + 2 \geq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x + 8}{x - 1} + 2$ .

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Paso 2.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 8}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 8 + 2 (x - 1)}{x - 1} \geq 0$

Paso 2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 8 + 2 x + 2 \cdot - 1}{x - 1} \geq 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x + 8 + 2 x - 2}{x - 1} \geq 0$

Paso 2.3.3

Suma $x$ y $2 x$ .

$\frac{3 x + 8 - 2}{x - 1} \geq 0$

Paso 2.3.4

Resta $2$ de $8$ .

$\frac{3 x + 6}{x - 1} \geq 0$

Paso 2.3.5

Factoriza $3$ de $3 x + 6$ .

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Paso 2.3.5.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{x - 1} \geq 0$

Paso 2.3.5.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{x - 1} \geq 0$

Paso 2.3.5.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x + 2)}{x - 1} \geq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 2$

$x = 1$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = - 2, 1$

Paso 8

Obtén el dominio de $\frac{3 (x + 2)}{x - 1}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{3 (x + 2)}{x - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 1 = 0$

Paso 8.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 4) + 8}{(- 4) - 1} \geq - 2$

Paso 10.1.3

$- 0.8$ del lado izquierdo es mayor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 8}{(0) - 1} \geq - 2$

Paso 10.2.3

$- 8$ del lado izquierdo es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) + 8}{(4) - 1} \geq - 2$

Paso 10.3.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 2$ o $x > 1$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 2] \cup (1, \infty)$

Paso 13