Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x - 7}{x - 2} > 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2 x - 7}{x - 2} - 1 > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{2 x - 7}{x - 2} - 1$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x - 7}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2} > 0$

Paso 2.2

Combina $- 1$ y $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x - 7}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2} > 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x - 7 - (x - 2)}{x - 2} > 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - 7 - x - - 2}{x - 2} > 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x - 7 - x + 2}{x - 2} > 0$

Paso 2.4.3

Resta $x$ de $2 x$ .

$\frac{x - 7 + 2}{x - 2} > 0$

Paso 2.4.4

Suma $- 7$ y $2$ .

$\frac{x - 5}{x - 2} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 5

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 5$

$x = 2$

Paso 7

Consolida las soluciones.

$x = 5, 2$

Paso 8

Obtén el dominio de $\frac{x - 5}{x - 2}$ .

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Paso 8.1

Establece el denominador en $\frac{x - 5}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 8.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 8.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (0) - 7}{(0) - 2} > 1$

Paso 10.1.3

$3.5$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (4) - 7}{(4) - 2} > 1$

Paso 10.2.3

$0.5$ del lado izquierdo no es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{2 (8) - 7}{(8) - 2} > 1$

Paso 10.3.3

$1.5$ del lado izquierdo es mayor que $1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 2$ Verdadero

$2 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

$x < 2$ Verdadero

$2 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 2$ o $x > 5$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, 2) \cup (5, \infty)$

Paso 13