Álgebra Ejemplos

$5 = x + \sqrt{x + 1}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x + \sqrt{x + 1} = 5$ .

$x + \sqrt{x + 1} = 5$

Paso 2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x + 1} = 5 - x$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x + 1}}^{2} = {(5 - x)}^{2}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 - x)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - x)}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 - x)}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 1)}^{1} = {(5 - x)}^{2}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica.

$x + 1 = {(5 - x)}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica ${(5 - x)}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe ${(5 - x)}^{2}$ como $(5 - x) (5 - x)$ .

$x + 1 = (5 - x) (5 - x)$

Paso 4.3.1.2

Expande $(5 - x) (5 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = 5 (5 - x) - x (5 - x)$

Paso 4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = 5 \cdot 5 + 5 (- x) - x (5 - x)$

Paso 4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 1 = 5 \cdot 5 + 5 (- x) - x \cdot 5 - x (- x)$

Paso 4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.3.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$x + 1 = 25 + 5 (- x) - x \cdot 5 - x (- x)$

Paso 4.3.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - x \cdot 5 - x (- x)$

Paso 4.3.1.3.1.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - x (- x)$

Paso 4.3.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Paso 4.3.1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Paso 4.3.1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Paso 4.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x + 1 x^{2}$

Paso 4.3.1.3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x + 1 = 25 - 5 x - 5 x + x^{2}$

Paso 4.3.1.3.2

Resta $5 x$ de $- 5 x$ .

$x + 1 = 25 - 10 x + x^{2}$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$25 - 10 x + x^{2} = x + 1$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$25 - 10 x + x^{2} - x = 1$

Paso 5.2.2

Resta $x$ de $- 10 x$ .

$25 + x^{2} - 11 x = 1$

Paso 5.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$25 + x^{2} - 11 x - 1 = 0$

Paso 5.4

Resta $1$ de $25$ .

$x^{2} - 11 x + 24 = 0$

Paso 5.5

Factoriza $x^{2} - 11 x + 24$ con el método AC.

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Paso 5.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $24$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 8, - 3$

Paso 5.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 8) (x - 3) = 0$

Paso 5.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 5.7

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.7.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 5.7.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 5.8

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.8.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.8.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 8) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = 8, 3$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $5 = x + \sqrt{x + 1}$ sea verdadera.

$x = 3$

Paso 7