Álgebra Ejemplos

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 \geq 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} - 8 x^{2} - x + 8 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{3} - 8 x^{2}) - x + 8 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (x - 8) - (x - 8) = 0$

Paso 2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 8$ .

$(x - 8) (x^{2} - 1) = 0$

Paso 2.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x - 8) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 2.4

Factoriza.

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Paso 2.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x - 8) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 4.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 8) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 8, - 1, 1$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 8$

$x > 8$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 8 \geq 0$

Paso 9.1.3

$- 180$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - (0) + 8 \geq 0$

Paso 9.2.3

$8$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{3} - 8 {(4)}^{2} - (4) + 8 \geq 0$

Paso 9.3.3

$- 60$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

${(10)}^{3} - 8 {(10)}^{2} - (10) + 8 \geq 0$

Paso 9.4.3

$198$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 8$ Falso

$x > 8$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 \leq x \leq 1$ o $x \geq 8$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[- 1, 1] \cup [8, \infty)$

Paso 12