Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x - 3}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x - 3}$ no está definida.

$x = 3$

Paso 2

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 3

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Paso 4

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 5

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 5.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x - 3}$

Paso 5.1.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 1$ más $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x - 3}$

Paso 5.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x - 3}$

Paso 5.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x - 3}$

Paso 5.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x - 3}$

Paso 5.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x - 3}$

Paso 5.2

Expande $(2 x - 1) (x - 2)$ .

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (x - 2) - 1 (x - 2)}{x - 3}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2)}{x - 3}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Paso 5.2.4

Mueve $x$ .

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Paso 5.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Paso 5.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Paso 5.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Paso 5.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x) - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Paso 5.2.9

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2}{x - 3}$

Paso 5.2.10

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 1 x + 2}{x - 3}$

Paso 5.2.11

Resta $1 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x - 3}$

Paso 5.3

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{2}$

$5 x$

$2$

Paso 5.4

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2 x$
	$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$

Paso 5.5

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Paso 5.6

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} - 6 x$ .

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Paso 5.7

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$

Paso 5.8

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$

Paso 5.9

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$

Paso 5.10

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$
					+	$x$	-	$3$

Paso 5.11

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - 3$ .

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$
					-	$x$	+	$3$

Paso 5.12

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x$	+	$1$
$x$	-	$3$		$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
			-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$x$	+	$2$
					-	$x$	+	$3$
							+	$5$

Paso 5.13

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$2 x + 1 + \frac{5}{x - 3}$

Paso 5.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = 2 x + 1$

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 3$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = 2 x + 1$

Paso 7