Álgebra Ejemplos

$2 x^{5} - 2 x^{4} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{5} - 2 x^{4} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{5}$ .

$2 (x^{5}) - 2 x^{4} - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 x^{4}$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) - 6 x^{3} + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Paso 1.1.3

Factoriza $2$ de $- 6 x^{3}$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 6 x^{2} - 8 x + 8 = 0$

Paso 1.1.4

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 8 x + 8 = 0$

Paso 1.1.5

Factoriza $2$ de $- 8 x$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8 = 0$

Paso 1.1.6

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (x^{5}) + 2 (- x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Paso 1.1.7

Factoriza $2$ de $2 (x^{5}) + 2 (- x^{4})$ .

$2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Paso 1.1.8

Factoriza $2$ de $2 (x^{5} - x^{4}) + 2 (- 3 x^{3})$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Paso 1.1.9

Factoriza $2$ de $2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3}) + 2 (3 x^{2})$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (4) = 0$

Paso 1.1.10

Factoriza $2$ de $2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x) + 2 (4) = 0$

Paso 1.1.11

Factoriza $2$ de $2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x) + 2 (4)$ .

$2 (x^{5} - x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 1.2

Reagrupa los términos.

$2 (x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.3

Factoriza $x$ de $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$2 (x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza $x$ de $- 3 x^{3}$ .

$2 (x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$2 (x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.3.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ .

$2 (x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.3.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ .

$2 (x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.4

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.5

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$2 (x (u^{2} - 3 u - 4) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.6

Factoriza $u^{2} - 3 u - 4$ con el método AC.

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Paso 1.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 1.6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 (x ((u - 4) (u + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 (x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.8

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 (x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.9

Factoriza.

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Paso 1.9.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$2 (x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.10

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Paso 1.11

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} + 3 u + 4) = 0$

Paso 1.12

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.12.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 1.12.1.1

Factoriza $3$ de $3 u$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

Paso 1.12.1.2

Reescribe $3$ como $- 1$ más $4$

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

Paso 1.12.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Paso 1.12.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.12.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Paso 1.12.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

Paso 1.12.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 1$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- u - 1) (u - 4)) = 0$

Paso 1.13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Paso 1.14

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Paso 1.15

Factoriza.

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Paso 1.15.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Paso 1.15.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 1.16

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

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Paso 1.16.1

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 1.16.2

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.16.3

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 1)$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) - x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.17

Aplica la propiedad distributiva.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.18

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.18.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.18.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.18.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.18.2

Suma $1$ y $2$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 - x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.19

Multiplica $x$ por $1$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - x^{2} - 1)) = 0$

Paso 1.20

Reordena los términos.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{3} - x^{2} + x - 1)) = 0$

Paso 1.21

Factoriza.

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Paso 1.21.1

Factoriza.

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Paso 1.21.1.1

Reescribe $x^{3} - x^{2} + x - 1$ en forma factorizada.

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Paso 1.21.1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.21.1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x^{3} - x^{2}) + x - 1)) = 0$

Paso 1.21.1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 1 (x - 1))) = 0$

Paso 1.21.1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$2 ((x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 1))) = 0$

Paso 1.21.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 ((x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 1)) = 0$

Paso 1.21.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 6.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 6.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 6.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 6.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2, 1, i, - i$

Paso 8