Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{2} {(3 x - 5)}^{2}$

Paso 1

Identifica el grado de la función.

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Paso 1.1

Simplifica y reordena el polinomio.

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Paso 1.1.1

Reescribe ${(3 x - 5)}^{2}$ como $(3 x - 5) (3 x - 5)$ .

$x^{2} ((3 x - 5) (3 x - 5))$

Paso 1.1.2

Expande $(3 x - 5) (3 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5))$

Paso 1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5))$

Paso 1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 1.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 1.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 1.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 1.1.3.1.4

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 1.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5)$

Paso 1.1.3.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25)$

Paso 1.1.3.2

Resta $15 x$ de $- 15 x$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 30 x + 25)$

Paso 1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25$

Paso 1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25$

Paso 1.1.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + x^{2} \cdot 25$

Paso 1.1.5.3

Mueve $25$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Paso 1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$9 (x^{2} x^{2}) - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Paso 1.1.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 x^{2 + 2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Paso 1.1.6.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$9 x^{4} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Paso 1.1.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.2.1

Mueve $x$ .

$9 x^{4} - 30 (x \cdot x^{2}) + 25 \cdot x^{2}$

Paso 1.1.6.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.6.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$9 x^{4} - 30 (x^{1} x^{2}) + 25 \cdot x^{2}$

Paso 1.1.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 x^{4} - 30 x^{1 + 2} + 25 \cdot x^{2}$

Paso 1.1.6.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 \cdot x^{2}$

$9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 x^{2}$

Paso 1.2

El mayor exponente es el grado del polinomio.

$4$

Paso 2

Como el grado es par, los extremos de la función apuntarán hacia la misma dirección.

Par

Paso 3

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 3.1

Simplifica el polinomio, luego reordénalo de izquierda a derecha, comienza por el término de mayor grado.

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Paso 3.1.1

Reescribe ${(3 x - 5)}^{2}$ como $(3 x - 5) (3 x - 5)$ .

$x^{2} ((3 x - 5) (3 x - 5))$

Paso 3.1.2

Expande $(3 x - 5) (3 x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5))$

Paso 3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5))$

Paso 3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 3.1.3.1.4

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)$

Paso 3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5)$

Paso 3.1.3.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25)$

Paso 3.1.3.2

Resta $15 x$ de $- 15 x$ .

$x^{2} (9 x^{2} - 30 x + 25)$

Paso 3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25$

Paso 3.1.5

Simplifica.

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Paso 3.1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25$

Paso 3.1.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + x^{2} \cdot 25$

Paso 3.1.5.3

Mueve $25$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Paso 3.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.6.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.6.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$9 (x^{2} x^{2}) - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Paso 3.1.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 x^{2 + 2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Paso 3.1.6.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$9 x^{4} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}$

Paso 3.1.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.6.2.1

Mueve $x$ .

$9 x^{4} - 30 (x \cdot x^{2}) + 25 \cdot x^{2}$

Paso 3.1.6.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.1.6.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$9 x^{4} - 30 (x^{1} x^{2}) + 25 \cdot x^{2}$

Paso 3.1.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 x^{4} - 30 x^{1 + 2} + 25 \cdot x^{2}$

Paso 3.1.6.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 \cdot x^{2}$

$9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 x^{2}$

Paso 3.2

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$9 x^{4}$

Paso 3.3

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$9$

Paso 4

Como el coeficiente principal es positivo, la gráfica se eleva a la derecha.

Positivo

Paso 5

Usa el grado de la función, además del signo del coeficiente principal, para determinar el comportamiento.

1. Par y positivo: se eleva a la izquierda y se eleva a la derecha.

2. Par y negativo: cae a la izquierda y cae a la derecha.

3. Impar y positivo: cae a la izquierda y se eleva a la derecha.

4. Impar y negativo: se eleva a la izquierda y cae a la derecha.

Paso 6

Determina el comportamiento.

Se eleva a la izquierda y se eleva a la derecha

Paso 7