Álgebra Ejemplos

$f (x) = 4 {(x + 2)}^{2} - 6$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$f (x) = 4 ((x + 2) (x + 2)) - 6$

Paso 1.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 6$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 6$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 6$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 6$

Paso 1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 6$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 6$

Paso 1.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$f (x) = 4 (x^{2} + 4 x + 4) - 6$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4 - 6$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4 - 6$

Paso 1.5.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 16 x + 16 - 6$

Paso 2

Resta $6$ de $16$ .

$f (x) = 4 x^{2} + 16 x + 10$

Paso 3

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 4

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{16}{2 (4)}$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{16}{2 (4)}$

Paso 4.3

Simplifica $- \frac{16}{2 (4)}$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$x = - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Paso 4.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$x = - \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Paso 4.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Paso 4.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{8}{4}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = - \frac{4 \cdot 2}{4}$

Paso 4.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$x = - \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Paso 4.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{2}{1}$

Paso 4.3.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$x = - 1 \cdot 2$

Paso 4.3.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = - 2$

Paso 5

Evalúa $f (- 2)$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 4 {(- 2)}^{2} + 16 (- 2) + 10$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 4 \cdot 4 + 16 (- 2) + 10$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (- 2) = 16 + 16 (- 2) + 10$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $16$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 32 + 10$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $32$ de $16$ .

$f (- 2) = - 16 + 10$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 16$ y $10$ .

$f (- 2) = - 6$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 6

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- 2, - 6)$

Paso 7