Álgebra Ejemplos

$\frac{x - 1}{x + 2} > \frac{x - 5}{x - 3}$

Paso 1

Resta $\frac{x - 5}{x - 3}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{x - 1}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{x - 5}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{x - 1}{x + 2}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{x - 5}{x - 3}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} > 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 1) (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Expande $(x - 1) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 3) - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.2.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.2.2

Resta $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.5

Expande $(- x + 5) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.5.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.6.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.6.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.6.1.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.6.2

Suma $- 2 x$ y $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.7

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.8

Suma $- 4 x$ y $0$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.9

Suma $- 4 x$ y $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.5.10

Suma $3$ y $10$ .

$\frac{- x + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.7

Reescribe $13$ como $- 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (x - 13)$ como $- 1 (x - 13)$ .

$\frac{- 1 (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 13 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 4

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 13$

Paso 5

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 13$

$x = - 2$

$x = 3$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 13, - 2, 3$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 2) (x - 3) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 9.2.2

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 9.2.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 9.2.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 9.2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 9.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 3$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$3 < x < 13$

$x > 13$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 4) - 1}{(- 4) + 2} > \frac{(- 4) - 5}{(- 4) - 3}$

Paso 11.1.3

$2.5$ del lado izquierdo es mayor que $1.\overline{285714}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) - 1}{(0) + 2} > \frac{(0) - 5}{(0) - 3}$

Paso 11.2.3

$- 0.5$ del lado izquierdo no es mayor que $1.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 13$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 13$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{(8) - 1}{(8) + 2} > \frac{(8) - 5}{(8) - 3}$

Paso 11.3.3

$0.7$ del lado izquierdo es mayor que $0.6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 13$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 13$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 16$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $16$ en la desigualdad original.

$\frac{(16) - 1}{(16) + 2} > \frac{(16) - 5}{(16) - 3}$

Paso 11.4.3

$0.8\overline{3}$ del lado izquierdo no es mayor que $0.\overline{846153}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 3$ Falso

$3 < x < 13$ Verdadero

$x > 13$ Falso

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 3$ Falso

$3 < x < 13$ Verdadero

$x > 13$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $3 < x < 13$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 2) \cup (3, 13)$

Paso 14