Álgebra Ejemplos

$x \geq \frac{8}{2 + x}$

Paso 1

Resta $\frac{8}{2 + x}$ de ambos lados de la desigualdad.

$x - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

Paso 2

Simplifica $x - \frac{8}{2 + x}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 + x}{2 + x}$ .

$\frac{x (2 + x)}{2 + x} - \frac{8}{2 + x} \geq 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (2 + x) - 8}{2 + x} \geq 0$

Paso 2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 2 + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

Paso 2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x \cdot x - 8}{2 + x} \geq 0$

Paso 2.3.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot x + x^{2} - 8}{2 + x} \geq 0$

Paso 2.3.4

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} + 2 x - 8}{2 + x} \geq 0$

Paso 2.3.5

Factoriza $x^{2} + 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 2.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 2.3.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x} \geq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

$2 + x = 0$

Paso 4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 6

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 2$

$x = - 4$

$x = - 2$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 2, - 4, - 2$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{(x - 2) (x + 4)}{2 + x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 + x = 0$

Paso 9.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$- 6 \geq \frac{8}{2 - 6}$

Paso 11.1.3

$- 6$ del lado izquierdo es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$- 3 \geq \frac{8}{2 - 3}$

Paso 11.2.3

$- 3$ del lado izquierdo es mayor que $- 8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$0 \geq \frac{8}{2 + 0}$

Paso 11.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$4 \geq \frac{8}{2 + 4}$

Paso 11.4.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $1.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 \leq x < - 2$ o $x \geq 2$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[- 4, - 2) \cup [2, \infty)$

Paso 14