Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ como una ecuación.

$y = {(2 x + 1)}^{3} - 4$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(2 y + 1)}^{3} - 4$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(2 y + 1)}^{3} - 4 = x$ .

${(2 y + 1)}^{3} - 4 = x$

Paso 3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

${(2 y + 1)}^{3} = x + 4$

Paso 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$2 y + 1 = \sqrt[3]{x + 4}$

Paso 3.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$

Paso 3.5

Divide cada término en $2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $2 y = \sqrt[3]{x + 4} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$ es la inversa de $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{({(2 x + 1)}^{3} - 4) + 4} - 1}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4}$ como ${({(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4)}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Paso 5.2.3.2

Combina los términos opuestos en ${(2 x + 1)}^{3} - 4 + 4$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3} + 0)}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Paso 5.2.3.2.2

Suma ${(2 x + 1)}^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{({(2 x + 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} - 1}{2}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{(2 x + 1)}^{3 (\frac{1}{3})} - 1}{2}$

Paso 5.2.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{{(2 x + 1)}^{3 (\frac{1}{3})} - 1}{2}$

Paso 5.2.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{(2 x + 1) - 1}{2}$

Paso 5.2.3.4

Simplifica.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x + 1 - 1}{2}$

Paso 5.2.3.5

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.3.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(2 x + 1)}^{3} - 4) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) + 1)}^{3} - 4$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(2 (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) + 1)}^{3} - 4$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(\sqrt[3]{x + 4} - 1 + 1)}^{3} - 4$

Paso 5.3.3.2

Combina los términos opuestos en $\sqrt[3]{x + 4} - 1 + 1$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(\sqrt[3]{x + 4} + 0)}^{3} - 4$

Paso 5.3.3.2.2

Suma $\sqrt[3]{x + 4}$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {\sqrt[3]{x + 4}}^{3} - 4$

Paso 5.3.3.3

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 4}}^{3}$ como $x + 4$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 4}$ como ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 4$

Paso 5.3.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 4$

Paso 5.3.3.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{3}{3}} - 4$

Paso 5.3.3.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = {(x + 4)}^{\frac{3}{3}} - 4$

Paso 5.3.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = (x + 4) - 4$

Paso 5.3.3.3.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x + 4 - 4$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 4 - 4$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $4$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$ es la inversa de $f (x) = {(2 x + 1)}^{3} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 4} - 1}{2}$