Álgebra Ejemplos

$\frac{7 x + 10}{x - 2} \leq x - 5$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta $x$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \leq - 5$

Paso 1.2

Suma $5$ a ambos lados de la desigualdad.

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5 \leq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{7 x + 10}{x - 2} - x + 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} - x \cdot \frac{x - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.2

Combina $- x$ y $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{7 x + 10}{x - 2} + \frac{- x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 x + 10 - x (x - 2)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 x + 10 - x \cdot x - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{7 x + 10 - (x \cdot x) - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} - x \cdot - 2}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{7 x + 10 - x^{2} + 2 x}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4.4

Suma $7 x$ y $2 x$ .

$\frac{9 x + 10 - x^{2}}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4.5

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4.6

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ y cuya suma es $b = 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.6.1.1

Factoriza $9$ de $9 x$ .

$\frac{- x^{2} + 9 (x) + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4.6.1.2

Reescribe $9$ como $- 1$ más $10$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 10) x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 10 x + 10}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 1) - 10 (- x - 1)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.4.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + 5 \leq 0$

Paso 2.5

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 10)}{x - 2} + \frac{5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(- x - 1) (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

Expande $(- x - 1) (x - 10)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x (x - 10) - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 (x - 10) + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.2

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{- x^{2} - x \cdot - 10 - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.2.1.2

Multiplica $- 10$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - 1 x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - x - 1 \cdot - 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$\frac{- x^{2} + 10 x - x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.2.2

Resta $x$ de $10 x$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 (x - 2)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x + 5 \cdot - 2}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.4

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$\frac{- x^{2} + 9 x + 10 + 5 x - 10}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.5

Suma $9 x$ y $5 x$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 10 - 10}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.6

Resta $10$ de $10$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x + 0}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.7

Suma $- x^{2} + 14 x$ y $0$ .

$\frac{- x^{2} + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.8

Factoriza $x$ de $- x^{2} + 14 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.8.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 14 x}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.8.2

Factoriza $x$ de $14 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 14}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.7.8.3

Factoriza $x$ de $x (- x) + x \cdot 14$ .

$\frac{x (- x + 14)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 14)}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.9

Reescribe $14$ como $- 1 (- 14)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 14))}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.10

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{x (- (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.11

Reescribe $- (x - 14)$ como $- 1 (x - 14)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 14))}{x - 2} \leq 0$

Paso 2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (x - 14)}{x - 2} \leq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$- x = 0$

$x - 14 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4

Divide cada término en $- x = 0$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Divide cada término en $- x = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$x = 0$

Paso 5

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 14$

Paso 6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 14$

$x = 2$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 0, 14, 2$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{x (x - 14)}{x - 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{x (x - 14)}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 9.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 14$

$x > 14$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{7 (- 2) + 10}{(- 2) - 2} \leq (- 2) - 5$

Paso 11.1.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $- 7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\frac{7 (1) + 10}{(1) - 2} \leq (1) - 5$

Paso 11.2.3

$- 17$ del lado izquierdo es menor que $- 4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 14$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 14$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{7 (4) + 10}{(4) - 2} \leq (4) - 5$

Paso 11.3.3

$19$ del lado izquierdo es mayor que $- 1$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 14$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 14$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 16$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $16$ en la desigualdad original.

$\frac{7 (16) + 10}{(16) - 2} \leq (16) - 5$

Paso 11.4.3

$8.\overline{714285}$ del lado izquierdo es menor que $11$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 14$ Falso

$x > 14$ Verdadero

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 14$ Falso

$x > 14$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x < 2$ o $x \geq 14$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[0, 2) \cup [14, \infty)$

Paso 14