Álgebra Ejemplos

${(t + \frac{1}{t})}^{4}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(t)}^{4 - k} \cdot {(\frac{1}{t})}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(t)}^{4 - 0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(t)}^{4 - 1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(t)}^{4 - 2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(t)}^{4 - 3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(t)}^{4 - 4} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(t)}^{4} \cdot {(\frac{1}{t})}^{0} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(t)}^{4}$ por $1$ .

${(t)}^{4} \cdot {(\frac{1}{t})}^{0} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} \cdot \frac{1^{0}}{t^{0}} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$t^{4} \cdot \frac{1}{t^{0}} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$t^{4} \cdot \frac{1}{1} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.5

Divide $1$ por $1$ .

$t^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.6

Multiplica $t^{4}$ por $1$ .

$t^{4} + 4 \cdot {(t)}^{3} \cdot {(\frac{1}{t})}^{1} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.7

Simplifica.

$t^{4} + 4 t^{3} \cdot \frac{1}{t} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.8

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 4.8.1

Factoriza $t$ de $4 t^{3}$ .

$t^{4} + t (4 t^{2}) \cdot \frac{1}{t} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.8.2

Cancela el factor común.

$t^{4} + t (4 t^{2}) \cdot \frac{1}{t} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.8.3

Reescribe la expresión.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 \cdot {(t)}^{2} \cdot {(\frac{1}{t})}^{2} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.9

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 t^{2} \cdot \frac{1^{2}}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 t^{2} \cdot \frac{1}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.11

Cancela el factor común de $t^{2}$ .

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Paso 4.11.1

Factoriza $t^{2}$ de $6 t^{2}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + t^{2} \cdot 6 \cdot \frac{1}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.11.2

Cancela el factor común.

$t^{4} + 4 t^{2} + t^{2} \cdot 6 \cdot \frac{1}{t^{2}} + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.11.3

Reescribe la expresión.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 \cdot {(t)}^{1} \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.12

Simplifica.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 \cdot t \cdot {(\frac{1}{t})}^{3} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.13

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 t \cdot \frac{1^{3}}{t^{3}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.14

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 t \cdot \frac{1}{t^{3}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.15

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 4.15.1

Factoriza $t$ de $4 t$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + t \cdot 4 \cdot \frac{1}{t^{3}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.15.2

Factoriza $t$ de $t^{3}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + t \cdot 4 \cdot \frac{1}{t \cdot t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.15.3

Cancela el factor común.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + t \cdot 4 \cdot \frac{1}{t \cdot t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.15.4

Reescribe la expresión.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + 4 \cdot \frac{1}{t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.16

Combina $4$ y $\frac{1}{t^{2}}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + 1 \cdot {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.17

Multiplica ${(t)}^{0}$ por $1$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + {(t)}^{0} \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.18

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + 1 \cdot {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.19

Multiplica ${(\frac{1}{t})}^{4}$ por $1$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + {(\frac{1}{t})}^{4}$

Paso 4.20

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{t}$ .

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + \frac{1^{4}}{t^{4}}$

Paso 4.21

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$t^{4} + 4 t^{2} + 6 + \frac{4}{t^{2}} + \frac{1}{t^{4}}$