Álgebra Ejemplos

$\frac{5 x + 7}{x - 1} < - 2$

Paso 1

Suma $2$ a ambos lados de la desigualdad.

$\frac{5 x + 7}{x - 1} + 2 < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{5 x + 7}{x - 1} + 2$ .

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Paso 2.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5 x + 7}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1} < 0$

Paso 2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 x + 7 + 2 (x - 1)}{x - 1} < 0$

Paso 2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x + 7 + 2 x + 2 \cdot - 1}{x - 1} < 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{5 x + 7 + 2 x - 2}{x - 1} < 0$

Paso 2.3.3

Suma $5 x$ y $2 x$ .

$\frac{7 x + 7 - 2}{x - 1} < 0$

Paso 2.3.4

Resta $2$ de $7$ .

$\frac{7 x + 5}{x - 1} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$7 x + 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x = - 5$

Paso 5

Divide cada término en $7 x = - 5$ por $7$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $7 x = - 5$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 5}{7}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{7}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{7}$

Paso 6

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - \frac{5}{7}$

$x = 1$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{5}{7}, 1$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{7 x + 5}{x - 1}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{7 x + 5}{x - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 1 = 0$

Paso 9.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{5}{7}$

$- \frac{5}{7} < x < 1$

$x > 1$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{5}{7}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{5}{7}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (- 3) + 7}{(- 3) - 1} < - 2$

Paso 11.1.3

$2$ del lado izquierdo no es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{5}{7} < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{5}{7} < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (0) + 7}{(0) - 1} < - 2$

Paso 11.2.3

$- 7$ del lado izquierdo es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (4) + 7}{(4) - 1} < - 2$

Paso 11.3.3

$9$ del lado izquierdo no es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{5}{7}$ Falso

$- \frac{5}{7} < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

$x < - \frac{5}{7}$ Falso

$- \frac{5}{7} < x < 1$ Verdadero

$x > 1$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{5}{7} < x < 1$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \frac{5}{7}, 1)$

Paso 14