Álgebra Ejemplos

$y = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1} = x$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1}) = 3 x$

Paso 2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{y - 1})$ .

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Paso 2.3.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $7^{y - 1}$ .

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Paso 2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{7^{y - 1}}{3} = 3 x$

Paso 2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$7^{y - 1} = 3 x$

Paso 2.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7^{y - 1}) = \ln (3 x)$

Paso 2.5

Expande $\ln (7^{y - 1})$ ; para ello, mueve $y - 1$ fuera del logaritmo.

$(y - 1) \ln (7) = \ln (3 x)$

Paso 2.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.1

Simplifica $(y - 1) \ln (7)$ .

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Paso 2.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y \ln (7) - 1 \ln (7) = \ln (3 x)$

Paso 2.6.1.2

Reescribe $- 1 \ln (7)$ como $- \ln (7)$ .

$y \ln (7) - \ln (7) = \ln (3 x)$

Paso 2.7

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y \ln (7) - \ln (7) - \ln (3 x) = 0$

Paso 2.8

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.8.1

Suma $\ln (7)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (7) - \ln (3 x) = \ln (7)$

Paso 2.8.2

Suma $\ln (3 x)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$

Paso 2.9

Divide cada término en $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ por $\ln (7)$ y simplifica.

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Paso 2.9.1

Divide cada término en $y \ln (7) = \ln (7) + \ln (3 x)$ por $\ln (7)$ .

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Paso 2.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (7)$ .

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Paso 2.9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Paso 2.9.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Paso 2.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.9.3.1

Cancela el factor común de $\ln (7)$ .

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Paso 2.9.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\ln (7)}{\ln (7)} + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Paso 2.9.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}))}{\ln (7)}$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (3 (\frac{1}{3}) \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (1 \cdot 7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $7^{x - 1}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{\ln (7^{x - 1})}{\ln (7)}$

Paso 4.2.3.2

Expande $\ln (7^{x - 1})$ ; para ello, mueve $x - 1$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Paso 4.2.3.3

Cancela el factor común de $\ln (7)$ .

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Paso 4.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (7)}{\ln (7)}$

Paso 4.2.3.3.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $1 + x - 1$ .

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Paso 4.2.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1}$

Paso 4.3.3

Combina los términos opuestos en $(1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) - 1$ .

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Paso 4.3.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{0 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Paso 4.3.3.2

Suma $0$ y $\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}}$

Paso 4.3.4

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot 7^{\log_{7} (3 x)}$

Paso 4.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Paso 4.3.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.6.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Paso 4.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Paso 4.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot 7^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (3 x)}{\ln (7)}$