Álgebra Ejemplos

$\frac{6 a}{a^{2} - 6 a + 9} + \frac{9}{a^{2} - 2 a - 3}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{6 a}{a^{2} - 6 a + 3^{2}} + \frac{9}{a^{2} - 2 a - 3}$

Paso 1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 a = 2 \cdot a \cdot 3$

Paso 1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{6 a}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^{2}} + \frac{9}{a^{2} - 2 a - 3}$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 3$ .

$\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}} + \frac{9}{a^{2} - 2 a - 3}$

Paso 1.2

Factoriza $a^{2} - 2 a - 3$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}} + \frac{9}{(a - 3) (a + 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} + \frac{9}{(a - 3) (a + 1)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{9}{(a - 3) (a + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}} \cdot \frac{a + 1}{a + 1} + \frac{9}{(a - 3) (a + 1)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a + 1) {(a - 3)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{6 a}{{(a - 3)}^{2}}$ por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9}{(a - 3) (a + 1)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{9}{(a - 3) (a + 1)}$ por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9 (a - 3)}{(a - 3) (a + 1) (a - 3)}$

Paso 4.3

Eleva $a - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{1} (a - 3) (a + 1)}$

Paso 4.4

Eleva $a - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{1} {(a - 3)}^{1} (a + 1)}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{1 + 1} (a + 1)}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 a (a + 1)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)} + \frac{9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 a (a + 1) + 9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Factoriza $3$ de $6 a (a + 1) + 9 (a - 3)$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $3$ de $6 a (a + 1)$ .

$\frac{3 (2 a (a + 1)) + 9 (a - 3)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Paso 6.1.2

Factoriza $3$ de $9 (a - 3)$ .

$\frac{3 (2 a (a + 1)) + 3 (3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Paso 6.1.3

Factoriza $3$ de $3 (2 a (a + 1)) + 3 (3 (a - 3))$ .

$\frac{3 (2 a (a + 1) + 3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 a \cdot a + 2 a \cdot 1 + 3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Paso 6.3

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1

Mueve $a$ .

$\frac{3 (2 (a \cdot a) + 2 a \cdot 1 + 3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Paso 6.3.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{3 (2 a^{2} + 2 a \cdot 1 + 3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Paso 6.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{3 (2 a^{2} + 2 a + 3 (a - 3))}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (2 a^{2} + 2 a + 3 a + 3 \cdot - 3)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Paso 6.6

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{3 (2 a^{2} + 2 a + 3 a - 9)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$

Paso 6.7

Suma $2 a$ y $3 a$ .

$\frac{3 (2 a^{2} + 5 a - 9)}{{(a - 3)}^{2} (a + 1)}$