Álgebra Ejemplos

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y + 13 = 0$

Paso 1

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y = - 13$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} - 8 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 2.3.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 2.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 4)}^{2} - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16$

Paso 3

Sustituye ${(x - 4)}^{2} - 16$ por $x^{2} - 8 x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y = - 13$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 + y^{2} + 2 y = - 13$

Paso 4

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

${(x - 4)}^{2} + y^{2} + 2 y = - 13 + 16$

Paso 5

Completa el cuadrado de $y^{2} + 2 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 5.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 5.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 5.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

Paso 6

Sustituye ${(y + 1)}^{2} - 1$ por $y^{2} + 2 y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y = - 13$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = - 13 + 16$

Paso 7

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = - 13 + 16 + 1$

Paso 8

Simplifica $- 13 + 16 + 1$ .

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Paso 8.1

Suma $- 13$ y $16$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 3 + 1$

Paso 8.2

Suma $3$ y $1$ .

${(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$

Paso 9

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 10

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = 2$

$h = 4$

$k = - 1$

Paso 11

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(4, - 1)$

Paso 12

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(4, - 1)$

Radio: $2$

Paso 13