Álgebra Ejemplos

$5$ , $- \frac{19}{4}$

Paso 1

$x = 5$ y $x = - \frac{19}{4}$ son las dos soluciones reales distintas para la ecuación cuadrática, lo que significa que $x - 5$ y $x + \frac{19}{4}$ son los factores de la ecuación cuadrática.

$(x - 5) (x + \frac{19}{4}) = 0$

Paso 2

Expande $(x - 5) (x + \frac{19}{4})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + \frac{19}{4}) - 5 (x + \frac{19}{4}) = 0$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (\frac{19}{4}) - 5 (x + \frac{19}{4}) = 0$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (\frac{19}{4}) - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (\frac{19}{4}) - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Paso 3.1.2

Combina $x$ y $\frac{19}{4}$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot 19}{4} - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Paso 3.1.3

Mueve $19$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + \frac{19 \cdot x}{4} - 5 x - 5 (\frac{19}{4}) = 0$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 5 (\frac{19}{4})$ .

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Paso 3.1.4.1

Combina $- 5$ y $\frac{19}{4}$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x + \frac{- 5 \cdot 19}{4} = 0$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 5$ por $19$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x + \frac{- 95}{4} = 0$

Paso 3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x - \frac{95}{4} = 0$

Paso 3.2

Para escribir $- 5 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} - 5 x \cdot \frac{4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Paso 3.3

Combina $- 5 x$ y $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{4} + \frac{- 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} + \frac{19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Paso 3.5

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Paso 3.6

Combina $x^{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 19 x - 5 x \cdot 4}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Paso 3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + 19 x - 5 x \cdot 4 - 95}{4} = 0$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} + 19 x - 5 x \cdot 4 - 95}{4} = 0$

Paso 4.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} + 19 x - 20 x - 95}{4} = 0$

Paso 4.3

Resta $20 x$ de $19 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x - 95}{4} = 0$

Paso 4.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 95 = - 380$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{4 x^{2} - (x) - 95}{4} = 0$

Paso 4.4.1.2

Reescribe $- 1$ como $19$ más $- 20$

$\frac{4 x^{2} + (19 - 20) x - 95}{4} = 0$

Paso 4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} + 19 x - 20 x - 95}{4} = 0$

Paso 4.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 x^{2} + 19 x) - 20 x - 95}{4} = 0$

Paso 4.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (4 x + 19) - 5 (4 x + 19)}{4} = 0$

Paso 4.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x + 19$ .

$\frac{(4 x + 19) (x - 5)}{4} = 0$

Paso 5

Expande $(4 x + 19) (x - 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (x - 5) + 19 (x - 5)}{4} = 0$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 5 + 19 (x - 5)}{4} = 0$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 5 + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 5 + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Paso 6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot - 5 + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 20 x + 19 x + 19 \cdot - 5}{4} = 0$

Paso 6.1.3

Multiplica $19$ por $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} - 20 x + 19 x - 95}{4} = 0$

Paso 6.2

Suma $- 20 x$ y $19 x$ .

$\frac{4 x^{2} - x - 95}{4} = 0$

Paso 7

Divide la fracción $\frac{4 x^{2} - x - 95}{4}$ en dos fracciones.

$\frac{4 x^{2} - x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Paso 8

Divide la fracción $\frac{4 x^{2} - x}{4}$ en dos fracciones.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Paso 9

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Paso 9.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{- x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - \frac{x}{4} + \frac{- 95}{4} = 0$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{95}{4} = 0$

Paso 12

La ecuación cuadrática estándar en función del conjunto dado de soluciones ${5, - \frac{19}{4}}$ es $y = x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{95}{4}$ .

$y = x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{95}{4}$

Paso 13