Álgebra Ejemplos

$\frac{3 b}{b^{2} - 2 b + 1} + \frac{4}{b^{2} + 3 b - 4}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 b}{b^{2} - 2 b + 1^{2}} + \frac{4}{b^{2} + 3 b - 4}$

Paso 1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 b = 2 \cdot b \cdot 1$

Paso 1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{3 b}{b^{2} - 2 \cdot b \cdot 1 + 1^{2}} + \frac{4}{b^{2} + 3 b - 4}$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = b$ y $b = 1$ .

$\frac{3 b}{{(b - 1)}^{2}} + \frac{4}{b^{2} + 3 b - 4}$

Paso 1.2

Factoriza $b^{2} + 3 b - 4$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 b}{{(b - 1)}^{2}} + \frac{4}{(b - 1) (b + 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{3 b}{{(b - 1)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{b + 4}{b + 4}$ .

$\frac{3 b}{{(b - 1)}^{2}} \cdot \frac{b + 4}{b + 4} + \frac{4}{(b - 1) (b + 4)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{4}{(b - 1) (b + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{b - 1}{b - 1}$ .

$\frac{3 b}{{(b - 1)}^{2}} \cdot \frac{b + 4}{b + 4} + \frac{4}{(b - 1) (b + 4)} \cdot \frac{b - 1}{b - 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(b + 4) {(b - 1)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3 b}{{(b - 1)}^{2}}$ por $\frac{b + 4}{b + 4}$ .

$\frac{3 b (b + 4)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)} + \frac{4}{(b - 1) (b + 4)} \cdot \frac{b - 1}{b - 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{4}{(b - 1) (b + 4)}$ por $\frac{b - 1}{b - 1}$ .

$\frac{3 b (b + 4)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)} + \frac{4 (b - 1)}{(b - 1) (b + 4) (b - 1)}$

Paso 4.3

Eleva $b - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 b (b + 4)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)} + \frac{4 (b - 1)}{{(b - 1)}^{1} (b - 1) (b + 4)}$

Paso 4.4

Eleva $b - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 b (b + 4)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)} + \frac{4 (b - 1)}{{(b - 1)}^{1} {(b - 1)}^{1} (b + 4)}$

Paso 4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 b (b + 4)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)} + \frac{4 (b - 1)}{{(b - 1)}^{1 + 1} (b + 4)}$

Paso 4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 b (b + 4)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)} + \frac{4 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 b (b + 4) + 4 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 b \cdot b + 3 b \cdot 4 + 4 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)}$

Paso 6.2

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $b$ .

$\frac{3 (b \cdot b) + 3 b \cdot 4 + 4 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{3 b^{2} + 3 b \cdot 4 + 4 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)}$

Paso 6.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{3 b^{2} + 12 b + 4 (b - 1)}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 b^{2} + 12 b + 4 b + 4 \cdot - 1}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)}$

Paso 6.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 b^{2} + 12 b + 4 b - 4}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)}$

Paso 6.6

Suma $12 b$ y $4 b$ .

$\frac{3 b^{2} + 16 b - 4}{{(b - 1)}^{2} (b + 4)}$