Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24$

Paso 1

Establece $x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24$ igual a $0$ .

$x^{4} + 5 x^{3} + 10 x^{2} + 20 x + 24 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$5 x^{3} + 10 x^{2} + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $5 x^{2}$ de $5 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $5 x^{2}$ de $5 x^{3}$ .

$5 x^{2} (x) + 10 x^{2} + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $5 x^{2}$ de $10 x^{2}$ .

$5 x^{2} (x) + 5 x^{2} (2) + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $5 x^{2}$ de $5 x^{2} (x) + 5 x^{2} (2)$ .

$5 x^{2} (x + 2) + x^{4} + 20 x + 24 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x^{4} + 20 x + 24$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.3.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.3.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

Paso 2.1.3.3

Sustituye $- 2$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.3.1

Sustituye $- 2$ en el polinomio.

${(- 2)}^{4} + 20 \cdot - 2 + 24$

Paso 2.1.3.3.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$16 + 20 \cdot - 2 + 24$

Paso 2.1.3.3.3

Multiplica $20$ por $- 2$ .

$16 - 40 + 24$

Paso 2.1.3.3.4

Resta $40$ de $16$ .

$- 24 + 24$

Paso 2.1.3.3.5

Suma $- 24$ y $24$ .

$0$

Paso 2.1.3.4

Como $- 2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} + 20 x + 24}{x + 2}$

Paso 2.1.3.5

Divide $x^{4} + 20 x + 24$ por $x + 2$ .

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Paso 2.1.3.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

Paso 2.1.3.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

Paso 2.1.3.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Paso 2.1.3.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} + 2 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Paso 2.1.3.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Paso 2.1.3.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 2.1.3.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 2.1.3.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 2.1.3.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 2.1.3.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 2.1.3.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Paso 2.1.3.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Paso 2.1.3.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Paso 2.1.3.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{2} + 8 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

Paso 2.1.3.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

Paso 2.1.3.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

Paso 2.1.3.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $12 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

Paso 2.1.3.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

Paso 2.1.3.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $12 x + 24$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

Paso 2.1.3.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$24$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$24$

$12 x$

$24$

$0$

Paso 2.1.3.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12$

Paso 2.1.3.6

Escribe $x^{4} + 20 x + 24$ como un conjunto de factores.

$5 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x + 2$ de $5 x^{2} (x + 2) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12)$ .

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Paso 2.1.4.1

Factoriza $x + 2$ de $5 x^{2} (x + 2)$ .

$(x + 2) (5 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Paso 2.1.4.2

Factoriza $x + 2$ de $(x + 2) (5 x^{2}) + (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12)$ .

$(x + 2) (5 x^{2} + x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Paso 2.1.5

Resta $2 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12) = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza.

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Paso 2.1.6.1

Reescribe $x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 12$ en forma factorizada.

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Paso 2.1.6.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.6.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 2) ((x^{3} + 3 x^{2}) + 4 x + 12) = 0$

Paso 2.1.6.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 2) (x^{2} (x + 3) + 4 (x + 3)) = 0$

Paso 2.1.6.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 3$ .

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} + 4)) = 0$

Paso 2.1.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x + 3) (x^{2} + 4) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.4

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.5

Establece $x^{2} + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} + 4$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 4$

Paso 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Paso 2.5.2.3.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 2.5.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 2.5.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 2.5.2.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.5.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 2.5.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Paso 2.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 2.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 2.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x + 3) (x^{2} + 4) = 0$ verdadera.

$x = - 2, - 3, 2 i, - 2 i$

Paso 3