Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 18 x + 45 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$- 2 x^{3} - 18 x + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x^{3} - 18 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 18 x + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $- 2 x$ de $- 18 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 9 + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $- 2 x$ de $- 2 x (x^{2}) - 2 x (9)$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + x^{4} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + 14 x^{2} + 45 = 0$

Paso 1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + u^{2} + 14 u + 45 = 0$

Paso 1.5

Factoriza $u^{2} + 14 u + 45$ con el método AC.

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Paso 1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $45$ y cuya suma es $14$ .

$5, 9$

Paso 1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 2 x (x^{2} + 9) + (u + 5) (u + 9) = 0$

Paso 1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9) = 0$

Paso 1.7

Factoriza $x^{2} + 9$ de $- 2 x (x^{2} + 9) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9)$ .

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Paso 1.7.1

Factoriza $x^{2} + 9$ de $- 2 x (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 5) (x^{2} + 9) = 0$

Paso 1.7.2

Factoriza $x^{2} + 9$ de $(x^{2} + 5) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 5) = 0$

Paso 1.7.3

Factoriza $x^{2} + 9$ de $(x^{2} + 9) (- 2 x) + (x^{2} + 9) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 9) (- 2 x + x^{2} + 5) = 0$

Paso 1.8

Reordena los términos.

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Paso 3

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x^{2} + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 9$

Paso 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Paso 3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Paso 3.2.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Paso 3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Paso 3.2.3.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 3.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Paso 3.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i, - 3 i$

Paso 4

Establece $x^{2} - 2 x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{2} - 2 x + 5$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} - 2 x + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Paso 4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.3

Resta $20$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

Paso 4.2.3.3

Simplifica $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 i$

Paso 4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 9) (x^{2} - 2 x + 5) = 0$ verdadera.

$x = 3 i, - 3 i, 1 + 2 i, 1 - 2 i$

Paso 6