Álgebra Ejemplos

$y = 3 x^{2} - 7 x + 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $3 x^{2} - 7 x + 2$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 3$

$b = - 7$

$c = 2$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 3}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$d = \frac{- 7}{6}$

Paso 1.1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{7}{6}$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 2 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$e = 2 - \frac{49}{4 \cdot 3}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$e = 2 - \frac{49}{12}$

Paso 1.1.4.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$e = 2 \cdot \frac{12}{12} - \frac{49}{12}$

Paso 1.1.4.2.3

Combina $2$ y $\frac{12}{12}$ .

$e = \frac{2 \cdot 12}{12} - \frac{49}{12}$

Paso 1.1.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{2 \cdot 12 - 49}{12}$

Paso 1.1.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.4.2.5.1

Multiplica $2$ por $12$ .

$e = \frac{24 - 49}{12}$

Paso 1.1.4.2.5.2

Resta $49$ de $24$ .

$e = \frac{- 25}{12}$

Paso 1.1.4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = - \frac{25}{12}$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $3 {(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ .

$3 {(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$

Paso 1.2

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = 3 {(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = 3$

$h = \frac{7}{6}$

$k = - \frac{25}{12}$

Paso 3

Como el valor de $a$ es positivo, la parábola se abre hacia arriba.

Abre hacia arriba

Paso 4

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(\frac{7}{6}, - \frac{25}{12})$

Paso 5

Obtén $p$ , la distancia desde el vértice hasta el foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el vértice hasta un foco de la parábola con la siguiente fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Paso 5.2

Sustituye el valor de $a$ en la fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Paso 5.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{1}{12}$

Paso 6

Obtén el foco.

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Paso 6.1

El foco de una parábola puede obtenerse al sumar $p$ a la coordenada y $k$ si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

$(h, k + p)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $p$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(\frac{7}{6}, - 2)$

Paso 7

Obtén el eje de simetría mediante la obtención de la línea que pasa por el vértice y el foco.

$x = \frac{7}{6}$

Paso 8