Álgebra Ejemplos

$y = \log (x - 5)$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \log (y - 5)$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\log (y - 5) = x$ .

$\log (y - 5) = x$

Paso 2.2

Reescribe $\log (y - 5) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{x} = y - 5$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $y - 5 = 10^{x}$ .

$y - 5 = 10^{x}$

Paso 2.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 10^{x} + 5$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 10^{x} + 5$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 10^{x} + 5$ es la inversa de $f (x) = \log (x - 5)$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\log (x - 5))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log (x - 5)) = 10^{\log (x - 5)} + 5$

Paso 4.2.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\log (x - 5)) = x - 5 + 5$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 5 + 5$ .

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Paso 4.2.4.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (\log (x - 5)) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\log (x - 5)) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (10^{x} + 5)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (10^{x} + 5) = \log ((10^{x} + 5) - 5)$

Paso 4.3.3

Combina los términos opuestos en $(10^{x} + 5) - 5$ .

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Paso 4.3.3.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (10^{x} + 5) = \log (10^{x} + 0)$

Paso 4.3.3.2

Suma $10^{x}$ y $0$ .

$f (10^{x} + 5) = \log (10^{x})$

Paso 4.3.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (10^{x} + 5) = x \log (10)$

Paso 4.3.5

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$f (10^{x} + 5) = x \cdot 1$

Paso 4.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (10^{x} + 5) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 10^{x} + 5$ es la inversa de $f (x) = \log (x - 5)$ .

$f^{- 1} (x) = 10^{x} + 5$