Álgebra Ejemplos

$y = 3 e^{- 4 x + 1}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 3 e^{- 4 y + 1}$

Paso 2

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $3 e^{- 4 y + 1} = x$ .

$3 e^{- 4 y + 1} = x$

Paso 2.2

Divide cada término en $3 e^{- 4 y + 1} = x$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Divide cada término en $3 e^{- 4 y + 1} = x$ por $3$ .

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $e^{- 4 y + 1}$ por $1$ .

$e^{- 4 y + 1} = \frac{x}{3}$

Paso 2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 4 y + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Paso 2.4

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Expande $\ln (e^{- 4 y + 1})$ ; para ello, mueve $- 4 y + 1$ fuera del logaritmo.

$(- 4 y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Paso 2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(- 4 y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 4 y + 1$ por $1$ .

$- 4 y + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Paso 2.5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Paso 2.6

Divide cada término en $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ por $- 4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Divide cada término en $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 2.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 2.6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 2.6.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Paso 2.6.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ es la inversa de $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = - \frac{\ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Paso 4.2.4.1.2

Divide $e^{- 4 x + 1}$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (e^{- 4 x + 1}) + 1}{4}$

Paso 4.2.4.2

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 4 x + 1$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \ln (e)) + 1}{4}$

Paso 4.2.4.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \cdot 1) + 1}{4}$

Paso 4.2.4.4

Multiplica $- 4 x + 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x + 1) + 1}{4}$

Paso 4.2.4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Paso 4.2.4.6

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Paso 4.2.4.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Paso 4.2.5

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1

Combina los términos opuestos en $4 x - 1 + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Paso 4.2.5.1.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 4.2.5.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 4.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) + 1}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1.1

Reescribe $\frac{\ln (\frac{x}{3})}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{4}) + 1}$

Paso 4.3.3.1.2

Simplifica $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ al mover $\frac{1}{4}$ dentro del algoritmo.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{1}{3} x)}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Paso 4.3.3.1.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{x}{3})}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Paso 4.3.3.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{3}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Paso 4.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Paso 4.3.3.3

Multiplica $- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Paso 4.3.3.3.2

Simplifica $4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Paso 4.3.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.4.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 (- 1) (\frac{1}{4}) + 1}$

Paso 4.3.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{4})) + 1}$

Paso 4.3.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.5.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.5.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.5.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.5.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.5.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.5.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.5.2.2

Simplifica.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.5.3

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.5.3.1

Multiplica los exponentes en ${(3^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.5.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.5.3.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.5.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.5.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.3.5.3.2

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Paso 4.3.4.2

Suma $\ln (\frac{x}{3})$ y $0$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Paso 4.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Paso 4.3.6

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Paso 4.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ es la inversa de $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$