Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y + 1}{y - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $(y - 1) (x)$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 1 x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y x - x = (\frac{y + 1}{y - 1}) (y - 1)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - x = \frac{y + 1}{y - 1} (y - 1)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - x = y + 1$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - x - y = 1$

Paso 3.4.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - y = 1 + x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y x - y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = 1 + x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 1 + x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 1 + x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (x - 1) = 1 + x$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (x - 1) = 1 + x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x - 1} + \frac{x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{1 + x}{x - 1}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Paso 5.2.3

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1}$

Paso 5.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $\frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{x + 1}{x - 1}}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1}$

Paso 5.2.4.2

Combinar.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1} - 1)}$

Paso 5.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 5.2.6.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.1.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.2.6.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{(x - 1) (\frac{x + 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{x - 1 + x + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.2.7.2

Suma $x$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.2.7.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.2.7.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.2.8

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Paso 5.2.8.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Paso 5.2.8.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - 1 \cdot x + 1}$

Paso 5.2.8.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Paso 5.2.8.5

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Paso 5.2.8.6

Suma $0$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Paso 5.2.8.7

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.9.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.9.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{1 + x}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(\frac{1 + x}{x - 1}) + 1}{(\frac{1 + x}{x - 1}) - 1}$

Paso 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $\frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{1 + x}{x - 1} + 1}{\frac{1 + x}{x - 1} - 1}$

Paso 5.3.3.2

Combinar.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} + 1)}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1} - 1)}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.3.5

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.3.5.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.3.5.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{1 + x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + (x - 1) \cdot 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.1

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{1 + x + x - 1}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.3.6.2

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x + 0}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.3.6.3

Suma $x + x$ y $0$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{x + x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.3.6.4

Suma $x$ y $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + (x - 1) \cdot - 1}$

Paso 5.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Paso 5.3.7.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Paso 5.3.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - 1 \cdot x + 1}$

Paso 5.3.7.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{1 + x - x + 1}$

Paso 5.3.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{x - x + 2}$

Paso 5.3.7.6

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{0 + 2}$

Paso 5.3.7.7

Suma $0$ y $2$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.3.8.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{1 + x}{x - 1}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + x}{x - 1}$